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ähnliche Matrizen - Anfängerfrage
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Ähnliche Matrizen, Allgemeine Frage, Lineare Algebra, Vorgehen
 
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Guten Abend, eine Frage zum allgemeinen Vorgehen bei ähnlichen Matrizen: Zwei Matrizen A, B sind ähnlich zueinander, wenn es eine reguläre C gibt, sodass gilt . 1. Ist diese Formel identisch zu und und ? 2. Wie erhält man die Matrix C? Ich dachte zuerst an folgendes: ähnliche nxn Matrizen besitzen ja die gleichen n Eigenwerte (manchmal denselben Eigenwert mit Vielfachheit k), aber unterschiedliche Eigenvektoren. Deswegen hätte ich die Eigenwerte bestimmt, in die Diagonale einer Matrix geschrieben und diese als C deklariert. Laut Wikipedia muss man aber die Eigenvektoren in die Spalten reinschreiben. Nun erhält man aber verschiedene Eigenvektoren bei A und B. Welche nimmt man z.B. die Formel ? Um Aufklärung wird gebeten. Vielen Dank schonmal im Voraus. Sollte etwas nicht eindeutig sein, kann ich versuchen, mein Problem nochmal zu präzisieren. Liebe Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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ad 1. Identisch zu stimmt. Die beiden anderen Ausdrücke sind zwar zueinander, nicht aber zu den bisherigen Ausdrücken äquivalent (weil die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist). ad 2. Die Matrix ist nicht eindeutig bestimmt. Folgendes bitte ohne Gewähr (ist schon lange her und ich müsste selber kontrollieren, aber ich denke, es stimmt): Um ein solches zu bestimmen, suche Basen des zugrundeliegenden Vektorraums, sodass die lineare Abbildung ist, die der einen Basis zugeordnet ist () und die lineare Abbildung, die der anderen Basis zugeordnet ist (). ist dann die Matrix zum Basiswechsel. |
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"Um ein solches C zu bestimmen, suche Basen des zugrundeliegenden Vektorraums, sodass A die lineare Abbildung ist, die der einen Basis zugeordnet ist ([A] Basis 1 ,Basis 1 ) und B die lineare Abbildung, die der anderen Basis zugeordnet ist ([B] Basis 2 ,Basis 2 ). C ist dann die Matrix zum Basiswechsel." Mir ist dabei das Vorgehen, C zu bestimmen, noch nicht ganz klar... Hoffentlich habe ich es so richtig verstanden. Sag bescheid, falls es falsch ist: - Basis 1 von A erhalte ich, indem ich den bestimme. - Basis 2 von B erhalte ich, indem ich den bestimme. also die Eigenvektoren, ja? - für C gilt dann folgendes: d.h. ich löse per Gauß ein LGS, wo links und rechts steht, bis links die Einheitsmatrix steht und rechts . Nur welche Formel gilt dann für diesen Basiswechsel? oder eine andere? und wie muss man sich das gescheit überlegen, wann welche gilt? wenn ich z.B. umschreibe zu dann steht doch dort im Prinzip, dass die Abbildung von A durch die Matrix C das gleiche ist, wie die Abbildung von C durch die Matrix B. C soll doch die Basis von A abbilden, also stimmt das doch oder? Liebe Grüße und danke nochmal!!! |
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Ich glaub mir ist was eingefallen (es sollte klappen - ob's die schnellste Methode ist, weiß ich auch nicht): Zwei Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie die gleichen Eigenwerte haben, d.h. zu und existieren Matrizen und , sodass , wobei die Matrix bestehend aus den Eigenwerten (in irgendeiner Reihenfolge) ist. Dabei sind die Spalten von bzw. gegeben durch die Eigenvektoren (die Reihenfolge entspricht der Reihenfolge, in der die jeweiligen Eigenwerte in vorkommen). Daraus ergibt sich . Die gesuchte Matrix ist also . |
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Hallo Mittwoch, danke für die Antwort. Allerdings fällt es mir schwer, deine Idee umzusetzen. Ich möchte ja bloß C bestimmen und jetzt gibt es noch ein D... Also mein C ist, wenn ich dich richtig verstehe, . Aber zu welcher Gleichung? ? Dankeschön nochmal!!! Liebe Grüße Vici |
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Dein ist mein , nennen wir es mal einfach . Wir haben dann . Die Matrix besteht aus den Eigenvektoren von (als Spalten). Die Matrix besteht aus den Eigenvektoren von . Um daraus auszurechnen - man will ja schließlich ausrechnen - muss man diese Matrix natürlich noch invertieren. Wie gesagt, vielleicht ist diese Methode umständlich bzw. unnötig kompliziert in der praktischen Rechnung. Theoretisch und für Beweise scheint sie mir gut geeignet, weil die Argumentation "leicht" ist. Allerdings ist mir gerade noch ein Problem aufgefallen. Die Methode wie ich sie hier vorgestellt habe funktioniert nur dann, wenn die Matrizen zu einer Diagonalmatrix äquivalent sind. Bei mir hat diese Diagonalmatrix geheißen. In ihr stehen die Eigenwerte. So eine Matrix muss allerdings nicht immer existieren (nicht alle Matrizen sind diagonalisierbar). In diesem Fall wird das Ganze weitaus komplizierter. Man könnte vielleicht über Jordan'sche Normalform argumentieren (weiß nicht, ob dir das was sagt). |
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Ja, die Jordan'sche Normalform hatten wir! Das ist vermutlich auch die Lösung des Problems. Faällt dir da etwas ein? |
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Man müsste sich anschauen, durch welche Matrix eine (nicht diagonalisierbare) Matrix zu einer Jordan-Block-Matrix äquivalent ist, ich meine mit . Desgleichen für die Matrix . Dann würde ich so vorgehen, wie in meiner vorigen Antwort. Ich kann mich allerdings nicht erinnern, wie man auf so eine Matrix kommt. Ich glaube fast, wir hatten für diese Matrix damals in meiner Vorlesung auch nur eine Existenzaussage bewiesen. Weißt du diesbezüglich mehr? |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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