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äußeres semidirektes Produkt - Beziehungen beweise

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Relationen

Tags: Gruppen, Relation.

Berenike aktiv_icon

11:20 Uhr, 14.11.2020

Es seien

N

und

H

Gruppen und

θ : H \to A u t (N), h \mapsto θ_{h}

ein Homomorphismus (d.h.

θ_{h_{1} h_{2}} = θ_{h_{1}} \circ θ_{h_{2}}

\forall h_{1}, h_{2} \in H

). Man versehe nun

N \times H

mit der Verknüpfung

(n_{1}, h_{1}) ⊙ (n_{2}, h_{2}) := (n_{1} \cdot θ_{h_{1}} (n_{2}), h_{1} h_{2}),

so wird dadurch eine Gruppe definiert, die man mit

N ⋈ H

bezeichnet.

Aufbauend auf dieser Information bezeichne man:

N^{*} = {(n, e_{H}) ∣ n \in N}

und

H^{*} = {(e_{N}, h) ∣ h \in H} .

Man beweise nun, dass folgende Aussagen gelten:
a)

H^{*} \leq N ⋈ H,

N^{*} ⊴ N ⋈ H

H^{*} ≅ H

N^{*} ≅ N

N^{*} \cap H^{*} = {(e_{N}, e_{H})}

N^{*} ⊙ H^{*} = N ⋈ H

Zu a): Wir müssen zeigen: Wenn

a, b \in H^{*}

ist, dann muss auch

a b^{- 1} \in H^{*}

sein.
Seien also

a = (e_{N}, h_{1})

und

b = (e_{N}, h_{2})

. Wir müssen also herausfinden, wie

b^{- 1}

aussieht. Dazu müssen wir uns aber erst erarbeiten wie das neutrale Element in

N ⋈ H

überhaupt aussieht. Man sieht schnell, dass das neutrale Element

e = (e_{N}, e_{H})

lauten muss. Bezeichne weiters

i = (i_{1}, i_{2})

das inverse Element von

N ⋈ H,

so erkennt man schnell, dass

i = (θ_{h_{1}}^{- 1} (n_{1}^{- 1}), h_{1}^{- 1})

ist (wobei natürlich

(n_{1}, h_{1}) \in N ⋈ H

ist). Daraus folgt dann, dass

b^{- 1} = (θ_{h_{2}}^{- 1} (e_{N}), h_{2}^{- 1})

gilt.
Insgesamt haben wir also, dass

a b^{- 1} = (e_{N}, h_{1}) ⊙ (θ_{h_{2}}^{- 1} (e_{N}), h_{2}^{- 1}) = (θ_{h_{2}}^{- 1} (e_{N}), h^{ʹ}) = (e_{N}, h^{ʹ}) \in H^{*}

(das letzte "Ist gleich" Zeichen ist daher erlaubt, weil aufgrund des Automorphismus der Kern des zugehörigen Homomorphismus aufgrund der damit einhergehenden Injektivität trivial ist).

Frage: Seid ihr mal zufrieden mit dieser Lösung zu a) ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

13:38 Uhr, 14.11.2020

Hallo,
ich habe nichts daran auszusetzen, würde aber ein paar Änderungen
vorschlagen, die die Geschichte etwas kompakter darstellen.
Ziemlich zum Anfang würde ich anmerken, dass

θ_{h} (e_{N}) = e_{N}

für alle

h \in H

gilt.
Ferner würde ich eher

θ_{h_{2}^{- 1}}

statt

θ_{h_{2}}^{- 1}

schreiben, dann kannst du dir den letzen Satz mit der Gliechheit sparen.
Gruß ermanus

Berenike aktiv_icon

14:26 Uhr, 14.11.2020

Hi Ermanus!

Wieso änderst du das hoch minus 1 Zeichen? Es ist ja mit Umkehrabbildungen zu rechnen! Oder hast du damit quasi den Weg kürzer gestaltet?

ermanus aktiv_icon

14:46 Uhr, 14.11.2020

θ

ist ein Gruppenhomomorphismus,
also ist das Bild eines Inversen das Inverse des Bildes:

θ (h^{- 1}) = (θ (h))^{- 1}

. Deine Schreibweise

θ_{h}^{- 1}

könnte falsch verstanden werden, man könnte darunter ja auch

θ^{- 1} (h)

verstehen. Daher finde ich meine Darstellung eindeutiger und ich muss nicht wissen,
dass

θ_{h}

ein Automorphismus ist.

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