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algebraische Vielfachheit und char. Polynom

Universität / Fachhochschule

Tags: Affine Abbildungen

immai aktiv_icon

14:41 Uhr, 24.01.2017

Zu beiden aufgaben habe ich ziemliche probleme.
Bitte umd HIlfe.-
mit rechenweg.

Vielen Dank
immai

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

00:10 Uhr, 25.01.2017

Aufgabe

P 29 :

Ich rechne mal eine Matrix vor. Die anderen beiden, solltest du dann selbst versuchen.

\\\\

1. Mit einigen "Tricks", die einem das Leben erleichtern:

A_{1} = (\begin{matrix} i & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix})

Die Matrix ist eine (untere) Dreiecksmatrix, daher stehen die Eigenwerte auf der Diagonalen.

A_{1}

hat also die Eigenwerte

i

und

2,

welche beide die algebraische Vielfachheit 1 besitzen.

Da für alle Eigenwerte "

1 \leq

geometrische Vielfachheit

\leq

algebraische Vielfachheit " sein muss, ist auch jeweils die geometrische Vielfachheit 1.

Durch scharfes Hinsehen, kann man erkennen, dass

(\begin{matrix} i & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) = 2 (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

ist, also dass

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

ein Eigenvektor von

A_{1}

zum Eigenwert 2 ist. Da der Eigenraum zum Eigenwert 2 eindimensional sein muss (da die geometrische Vielfachheit gleich 1 ist), können wir den Eigenraum zum Eigenwert 2 angeben:

E i g (A_{1}, 2) = s p a n_{ℂ} {(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})}

Für den Eigenraum zum Eigenwert

i

berechnen wir:

(E_{3}

sei die

3 \times 3

-Einheitsmatrix)

E i g (A_{1}, i) = k e r (A_{1} - i E_{3}) = k e r (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 - i \end{matrix}) = s p a n_{ℂ} {(\begin{matrix} - 2 + i \\ 1 \end{matrix})}

\\\\

2. Allgemeinere Vorgehensweise, ohne großartige "Tricks":

A_{1} = (\begin{matrix} i & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix})

Zum Berechnen der Eigenwerte, berechnen wir uns zunächst das charakteristische Polynom:

χ_{A_{1}} (λ) = det (A_{1} - λ E_{3}) = det (\begin{matrix} i - λ & 0 \\ 1 & 2 - λ \end{matrix}) = (i - λ) \cdot (2 - λ) - 1 \cdot 0 = (λ - i) \cdot (λ - 2)

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Die Vielfachheit der Nullstellen im charakteristischen Polynom ist die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte. Also:

i

ist Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 1.
2 ist Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 1.

Nun berechnen wir die Eigenräume.
Der Eigenraum

E i g (A_{1}, i) = k e r (A_{1} - i E_{3})

zum Eigenwert

i

ist der Lösungsraum des Gleichungssystems

(A_{1} - i E_{3}) \cdot v = 0

bzgl.

v

. Dieses lösen wir mit dem Gaußschen-Eliminationsverfahren.

(A_{1} - i E_{3}) \cdot v = 0

(\begin{matrix} i - i & 0 \\ 1 & 2 - i \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 - i \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Vertausche die erste mit der zweiten Zeile:

(\begin{matrix} 1 & 2 - i \\ 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Zeilenstufenform ist erreicht. Wir können

v_{2}

frei wählen und erhalten aufgrund der ersten Zeile:

v_{1} + (2 - i) \cdot v_{2} = 0

v_{1} = (- 2 + i) \cdot v_{2}

Wir erhalten also als Lösungsmenge:

{(\begin{matrix} (- 2 + i) \cdot v_{2} \\ v_{2} \end{matrix}) | v_{2} \in ℂ} = {v_{2} (\begin{matrix} (- 2 + i) \\ 1 \end{matrix}) | v_{2} \in ℂ} = s p a n_{ℂ} {(\begin{matrix} - 2 + i \\ 1 \end{matrix})}

Damit haben wir nun den Eigenraum zum Eigenwert 2 berechnet:

E i g (A_{1}, i) = s p a n_{ℂ} {(\begin{matrix} - 2 + i \\ 1 \end{matrix})}

Dieser Eigenraum ist offensichtlich eindimensional. Da die geometrische Vielfachheit gleich der Dimension des Eigenraums ist, ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts

i

gleich 1.

Der Eigenraum

E i g (A_{1}, 2) = k e r (A_{1} - 2 E_{3})

zum Eigenwert

i

ist der Lösungsraum des Gleichungssystems

(A_{1} - 2 E_{3}) \cdot v = 0

bzgl.

v

. Dieses lösen wir mit dem Gaußschen-Eliminationsverfahren.

(A_{1} - 2 E_{3}) \cdot v = 0

(\begin{matrix} i - 2 & 0 \\ 1 & 2 - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} i - 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Vertausche die erste mit der zweiten Zeile:

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ i - 2 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Subtrahiere das

(i - 2)

-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile:

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Zeilenstufenform ist erreicht. Wir können

v_{2}

frei wählen. Aufgrund der ersten Zeile ist

v_{1} = 0

.

Wir erhalten also als Lösungsmenge:

{(\begin{matrix} 0 \\ v_{2} \end{matrix}) | v_{2} \in ℂ} = {v_{2} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) | v_{2} \in ℂ} = s p a n_{ℂ} {(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})}

Damit haben wir nun den Eigenraum zum Eigenwert 2 berechnet:

E i g (A_{1}, 2) = s p a n_{ℂ} {(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})}

Dieser Eigenraum ist offensichtlich eindimensional. Da die geometrische Vielfachheit gleich der Dimension des Eigenraums ist, ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 2 gleich 1.

\\\\\

Zu Aufgabe

P 30 :

a)

χ_{0} (λ) = det (0 - λ E_{4}) = det (\begin{matrix} 0 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - λ \end{matrix}) = det (\begin{matrix} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{matrix})

Nun kann man beispielsweise den Laplaceschen-Entwicklungssatz anwenden, oder verwenden, dass bei Diagonal- bzw. Dreiecksmatrizen die Determinante gleich dem Produkt der Diagonaleinträge ist:

χ_{0} (λ) = {(- λ)}^{4} = λ^{4}

Analoges Vorgehen für

E_{4}

.

\\\\

b)

Nein, es gilt nur die

\Leftarrow

-Richtung, die andere Richtung ist nicht allgemein gültig.

Berechne beispielsweise die Determinanten und charakteristischen Polynome von:

(\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix})

Hintergrund: Für jede Matrix A ist

det (A) = χ_{A} (0)

. Wenn also

det (A) = det (B)

ist bedeutet das

χ_{A} (0) = χ_{B} (0)

. Daher müssen die charakteristischen Polynome für

det (A) = det (B)

nur an der Stelle 0 übereinstimmen. Das reicht aber nicht aus, dass dann allgemein eine Gleichheit

χ_{A} = χ_{B}

vorliegen muss.

\\\\

c)

Nein, dies folgt nicht.

Die angegebenen Matrizen liefern ein Gegenbeispiel.
Rechne die charakteristischen Polynome der beiden Matrizen aus, um zu zeigen, dass diese Übereinstimmen.

Die Matrizen sind jedoch nicht konjugiert/ähnlich zueinander. Denn wäre dies der Fall, müsste

B

diagonalisierbar sein, da A diagonal ist.

B

ist jedoch nicht diagonalisierbar. Dazu kannst du beispielsweise den Eigenraum von

B

zum Eigenwert 2 berechnen, um zu sehen, dass dieser nur eindimensional ist, also die algebraische Vielfachheit

(2)

nicht mit der geometrischen Vielfachheit

(1)

übereinstimmt.

immai aktiv_icon

01:36 Uhr, 25.01.2017

Vielen Vielen Dank
ich habe heute schon einiges gelernt mir fehlen aber noch einiges.
ich werde das ganze morgen durch gehen.
muss jetzt gezwugener massen schlafen gehn.
hab aber einmal durchgelesen.
muss in der früh weiter machen.

immai aktiv_icon

16:35 Uhr, 26.01.2017

alles klar bin nochmal alles durch gegangen.
die

p 29

ist kein problem mehr.

p 30 a

mit

E 4

klappt es allerdings nicht, da ich nicht weiss wie ich es umsetzen soll.

p 30 b

sieht schlimmer aus. die theorie ist mehr oder weniger klar. doch bei der rechnung komme ich nicht weit.

p 30 b

char. polynom. ausrechnen ist kein thema grad mehr für mich. doch bei der erklärung sagtest du eigenraum (weiss nicht was des ist^^) damit komme ich nicht weiter.
aber die idee an sich ist mir klar.

kannst du mir bitte noch weiter helfen?

Vilen Dank
immai

mihisu aktiv_icon

13:15 Uhr, 27.01.2017

"p30a mit

E 4

klappt es allerdings nicht, da ich nicht weiss wie ich es umsetzen soll."

Einfach einsetzen und ausrechnen:

χ_{E_{4}} = det (E_{4} - λ E_{4}) = det ((1 - λ) E_{4}) = det (\begin{matrix} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - λ \end{matrix}) = {(1 - λ)}^{4}

Wo ist da bei dir das Problem?

\\\\

"p30b sieht schlimmer aus. die theorie ist mehr oder weniger klar. doch bei der rechnung komme ich nicht weit."

Wo genau scheitert es?
Bei der Berechnung der Determinanten

det (A), det (B)

?
Bei der Berechnung der charakteristischen Polynome

χ_{A}, χ_{B}

?
Irgendwo anders?

\\\\

"char. polynom. ausrechnen ist kein thema grad mehr für mich. doch bei der erklärung sagtest du eigenraum (weiss nicht was des ist^^) damit komme ich nicht weiter."

Du siehst schon, dass dies irgendwie deinen vorigen Aussagen widerspricht:

"p30a mit

E 4

klappt es allerdings nicht, da ich nicht weiss wie ich es umsetzen soll." widerspricht deiner Aussage "char. polynom. ausrechnen ist kein thema grad mehr für mich".
Denn in

P 30 a

geht es gerade darum charakteristische Polynome auszurechnen.

"die

p 29

ist kein problem mehr." widerspricht deiner Aussage "eigenraum (weiss nicht was des ist^^)".
In der

P 29

solltest du doch auch schon Eigenräume berechnen.

Und wenn du überhaupt nicht weißt, was ein Eigenraum ist, dann lies doch mal in deinen Aufzeichungen nach, was das ist. Bzw. wiederhole erst nochmal die Theorie zum Thema. Dann wirst du finden, dass der Eigenraum zu einem Eigenwert

λ

der Untervektorraum ist, der aus dem Nullvektor und aus allen Eigenvektoren zum Eigenwert

λ

besteht. Der Eigenraum einer Matrix A zum Eigenwert

λ

besteht also aus allen Vektoren

v,

die die Gleichung

A \cdot v = λ \cdot v

bzw. äquivalent dazu die Gleichung

(A - λ E) \cdot v = 0

erfüllen, wobei

E

die Einheitsmatrix sein soll.

immai aktiv_icon

14:57 Uhr, 27.01.2017

das mit

E 4

habe ich ehrlich gesagt nachhinein auch hinbekommen.
ich glaube aber das grösste problem liegt darin, wodurch ich dann verunsichert bin.
Das ich nicht weiss was das ergebnis bedeutet.
Um rechnung zu ende ist oder nicht, weiss somit nicht.

Wo genau scheitert es?
Bei der Berechnung der Determinanten

det (A), det (B)

?
Bei der Berechnung der charakteristischen Polynome χA,χB?
Irgendwo anders?

bei der aufstellung welches

det A

?

und wo kommt die

B

her?^^

z . b

(1 - λ) (3 - λ)

ist doch char. polynom. aus den Eigenwerten erstellt oder?

det (A =

welches ?)

= det (B

von wo her?)
und was bringt mir die blosse gleich stellung

"char. polynom. ausrechnen ist kein thema grad mehr für mich. doch bei der erklärung sagtest du eigenraum (weiss nicht was des ist^^) damit komme ich nicht weiter."

Du siehst schon, dass dies irgendwie deinen vorigen Aussagen widerspricht:

ich denke ich drücke mich manchmal nicht gescheit aus wodurch sowas entsteht.
der eigenraum selbst also der begriff was es ist weiss ich nicht.

ich hoffe ich konnte mein problem ein wenig besser schildern jetzt.

Zum letztn part was du geschrieben hast.
Die Sache ist die, ic hhabe kaum skript materieal. Das was ich mache ist sehr viel mehr vorlernen.
und deswegen habe ich hier und da plötzliche wissenslücken.
Warum ich ja auch hier versuche das best möglichst zu füllen.

Könntest du mir bitte noch schnell mit dieser Aufgabe hier helfen

http//www.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/2c5d6214d443b17ea5d006c96e2669da.png

ich muss sozusagen heute um, 17uhr abgeben.

Und Vielen Vielen Dank für deine Hilfe bis jetzt, hab dadurch einiges gelernt.

mihisu aktiv_icon

15:28 Uhr, 27.01.2017

Bei

(b)

sollst du überprüfen, ob

det (A) = det (B)

äquivalent zu

χ_{A} = χ_{B}

ist.

Wenn du nun zwei Matrizen

A, B

findest, für die zwar

det (A) = det (B)

ist, aber

χ_{A} \neq χ_{B}

ist, wiederlegt das die zu überprüfende Äquivalenz.

Nun habe ich in meinem ersten Beitrag zwei Matrizen angegeben, die ein solches Gegenbeispiel liefern:

A = (\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix})

Für diese Matrizen gilt

det (A) = 12 = det (B)

und

χ_{A} (λ) = (4 - λ) (3 - λ) \neq (2 - λ) (6 - λ) = χ_{B} (λ)

.

Wenn du keine solchen Matrizen erraten/konstruieren/finden kannst, so kannst du auch allgmein ansetzen:

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})

Dann ist

det (A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

und

det (B) = b_{11} b_{22} - b_{12} b_{21}

.
Es ist

χ_{A} (λ) = ... = λ^{2} - (a_{11} + a_{22}) + det (A)

.
Es ist

χ_{B} (λ) = ... = λ^{2} - (b_{11} + b_{22}) + det (B)

Wenn nun

det (A) = det (B)

ist, so ist stimmen die konstanten Terme der charakteristischen Polynome überein. Es kann dann aber immernoch sein, dass

a_{11} + a_{22} \neq b_{11} + b_{22}

ist.

Finde also konkrete Matrixeinträge, so dass

a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} = b_{11} b_{22} - b_{12} b_{21}

und jedoch

a_{11} + a_{22} \neq b_{11} + b_{22}

ist.
Beispielsweise kann man

a_{11} = 4, a_{22} = 3, b_{11} = 2, b_{22} = 6, a_{12} = a_{21} = b_{12} = b_{21} = 0

wählen.

immai aktiv_icon

15:58 Uhr, 27.01.2017

Vielen Dank

ich habs mir grad nochmal durch gelesen.

da meine zeit knapp ist könntest du mir bitte noch währen ich das verinnerliche mir bei dieser aufgabe helfen?

http//www.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/2c5d6214d443b17ea5d006c96e2669da.png

Danke so verstehe ich das ganze um einiges besser.

mihisu aktiv_icon

16:02 Uhr, 27.01.2017

Ich weiß leider nicht, wie ihr diese Koordinatensysteme definiert habt. Daher kann ich leider nicht helfen.

Ich weiß nämlich nicht, was der erste mit ";" statt mit "," abgetrennte Vektor sein soll. Soll das eine Translation angeben? Wenn ja: Translation vor oder nach dem Basiswechsel mit den anderen Vektoren dahinter?

immai aktiv_icon

16:19 Uhr, 27.01.2017

ich hhatte mal so eine hilfe zu so eine aufgabe bekommen. hoffe es hilft dir weiter.

p 27

(e)

FkE und GkE berechnen sich wie folgt: Die Rotationsmatrix wird invertiert und die Verschiebung ergibt sich aus der Invertierten Rotationsmatrix mal die negative ursprüngliche Verschiebung. In Formeln:
AkB:Ax=A⋅Bx+t
BkA:Bx=A−1⋅Ax−A−1⋅t
damit erhält man:
FkE:Fx=(0,50,50,5−0,5)⋅Ex
angewendet auf

P

FP=(0,50,50,5−0,5)⋅(51)=(32)
stimmt also mit dem 'Herauslesen' überein
GkE:Gx=(1001)⋅Ex+(11)
angewendet auf

P

GP=(1001)⋅(51)+(11)=(62)
passt also auch.

(f)

GkF ist die Kombination von GkE und EkF. Mit homogenen Koordinaten wäre das jetzt total 'easy', aber ich versuche es mal, es mit A und

t

ausführlich hin zu schreiben:
GkF:Gx=(1001)⋅Ex+(11)=(1001)⋅((111−1)Fx)+(11)
da in GkE eine Einheitsmatrix steht und in EkF die Verschiebung

= 0

ist, wird es ziemlich einfach
GkF:Gx=(111−1)Fx+(11)
zur Kontrolle setze ich mal FP ein:
GP=(111−1)⋅(32)+(11)=(62)

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