Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » algebraische und geometrische Vielfachheit - Satz

algebraische und geometrische Vielfachheit - Satz

Universität / Fachhochschule

Tags: Diagonalisierbarkeit, Matrix, Vielfachheit

Sonusfaber aktiv_icon

18:30 Uhr, 20.09.2019

Hallo

Mir liegt ein Satz vor, dessen Beweis ich nicht verstehe. Ich habe daher versucht, ihn selber zu beweisen und möchte wissen, ob meine Überlegungen wenigstens teilweise gültig sind.

Der Satz besagt Folgendes:

Eine Matrix A

\in

M(nxn, K) ist diagonalisierbar

\overset{}{\Leftrightarrow}

die algebraische und die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte sind identisch.

Mein Beweis in die Richtung

\Rightarrow

Sei A diagonalisierbar. Dann bilden die Eigenvektoren von A (was hier als bereits bewiesen anzunehmen sei) eine Basis des

K^{n}

. Die Matrix A hat daher n linear unabhängige Eigenvektoren, was wiederum bedingt, dass sie n voneinander verschiedene Eigenwerte besitzt. Da die Summe der Vielfachheiten aller Eigenwerte kleiner gleich n sein muss und A, wie bereits gesehen, n Eigenwerte hat, muss jeder Eigenwert die Vielfachheit 1 haben: Ihre Summe ergibt genau 1. Dasselbe gilt aber auch für ihre geometrische Vielfachheit, denn andernfalls hätte A insgesamt mindestens n + 1 linear unabhängige Eigenvektoren, was ja unmöglich ist in einem n-dimensionalen Vektorraum ...

Liege ich richtig?

Vielen Dank für jeden Hinweis ... .-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

michaL aktiv_icon

18:39 Uhr, 20.09.2019

Hallo,

aus

A

hat eine Basis aus Eigenvektoren (d.h.

n = \dim (V)

viele linear unabhängige EV)
folgt nicht

A

hat genau

n

verschiedene EW.

Du brauchst für deinen Beweis, dass die geometrische Vielfachheit nie größer als die algebraische ist.

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

19:08 Uhr, 20.09.2019

Nicht? Insgesamt aber schon n Eigenwerte - oder? Wobei ich jetzt gerne verstehen würde, warum sie nicht unbedingt voneinander verschieden sein müssen im Fall von linear unabhängigen Eigenvektoren ...

Seien also

{\vec{x}}_{1}

und

{\vec{x}}_{2}

zwei linear unabhängige Eigenvektoren von A zum selben Eigenwert z, so dass A

{\vec{x}}_{1}

= z

{\vec{x}}_{1}

und A

{\vec{x}}_{2}

= z

{\vec{x}}_{2}

. Daraus folgt: (A - z

E_{n}

)

{\vec{x}}_{1}

= (A - z

E_{n}

)

{\vec{x}}_{2}

\vec{0}

, was zum selben charakteristischen Polynom

p_{A} (z)

= det(A - z

E_{n}

) führt bzw. zu denselben Nullstellen bzw. Eigenwerten von A.

Falsch?

ermanus aktiv_icon

19:18 Uhr, 20.09.2019

Die Einheitsmatrix

I_{2}

hat nur den Eigenwert

1

, aber die Standardeinheitsvektoren
sind doch offenbar linear unabhängige Eigenvektoren.

michaL aktiv_icon

19:26 Uhr, 20.09.2019

Hallo,

> Nicht? Insgesamt aber schon n Eigenwerte - oder? Wobei ich jetzt gerne verstehen würde, warum sie nicht
> unbedingt voneinander verschieden sein müssen im Fall von linear unabhängigen Eigenvektoren ...

Nun, nimm doch einfach

A = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

.

Die andere Aussage habe ich nicht verstanden. Wenn es zwei linear unabhängige EV zu einem EW gibt, dann ist der EW trotzdem Nullstelle des char. Polynoms?
War das die Frage?
Sollte klar sein.

Also, dein Beweis sollte sich klar in die beiden Teile "

\Rightarrow

" und "

\Leftarrow

" gliedern.
"

\Leftarrow

" ist über deine kürzlich behandelte Äquivalenz mit Basis aus EV zu machen.
"

\Rightarrow

" klappt auch darüber, wenn du die Tautologie "

(A \Rightarrow B) \overset{}{\Leftrightarrow} (\neg B \Rightarrow \neg A)

" verwendest:
Wenn algebraische und geometrische Vielfachheit NICHT identisch sind, dann ist die Summe der geometrischen Viefachheiten (echt) kleiner als die Summe der algebraischen Vielfachheiten, welche aber gleich der Dimension des Gesamtraums ist (

n

?).
Damit habe ich also sicher immer weniger als

n

linear unabhängige Eigenvektoren, also insbesondere KEINE Basis aus Eigenvektoren.

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

19:55 Uhr, 20.09.2019

@ Ermanus: Ja, das stimmt, jede Einheitsmatrix

E_{n}

hat nur den Eigenwert 1, aber alle kanonischen Basisvektoren des zugrunde liegenden Vektorraums

K^{n}

sind - obwohl linear unabhängig - Eigenvektoren von

E_{n}

zum selben Eigenwert 1

Sonusfaber aktiv_icon

09:04 Uhr, 21.09.2019

Also, mir gelingt der Beweis beim besten Willen nicht und ich finde auch keinen im Web, was mich über alle Massen irritiert ... :-)

Könnte mir jemand helfen?

michaL aktiv_icon

09:51 Uhr, 21.09.2019

Hallo,

hast du mein vorheriges posting gelesen? Dort skizziere ich "

\Rightarrow

".

Ok, ich könnte mir einen Beweis wie folgt vorstellen, wobei ich mich auf einen Satz der Art
Sei

V

ein

n

-dimensionaler VR über dem Körper

K

A \in Mat (n; n; K)

. Dann gilt:

A

ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis von

V

aus Eigenvektoren von

A

gibt.

Gib bitte bescheid, ob ihr diesen Satz schon bewiesen habt.

Nun zum gesuchten Beweis von
Eine Matrix

A \in M (n \times n, K)

ist diagonalisierbar

\overset{}{\Leftrightarrow}

die algebraische und die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte sind identisch.

"

\Leftarrow

": Sei

{λ_{1}, \dots, λ_{s}}

die Menge der Eigenwerte von

A

(in

K

). Wir definieren noch

v_{i} := \dim (A - λ_{i} E)

, was die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts

λ_{i}

ist (

1 \leq i \leq s

).
Wir nennen noch

w_{i}

die algebraische Vielfachheit des EW

λ_{i}

, d.h. wir können das char. Polynom

χ_{A} (x) = \prod_{k = 1}^{s} (x - λ_{k})^{w_{k}}

schreiben.
Allgemein wissen wir(?), dass

v_{i} \leq w_{i}

gilt. Da nach VSS aber nun

v_{i} = w_{i}

für alle

1 \leq i \leq s

gilt, wissen wir die Vereinigung der Basen der der Eigenräume

Eig (A, λ_{i})

genau

n

Elemente enthält, d.h. eine Basis des

K^{n}

darstellt.
Satz von oben garantiert also, dass

A

diagonalisierbar ist.

"

\Rightarrow

": Sei die algebraische Vielfachheit nun mindestens für ein

1 \leq i_{0} \leq s

echt größer als die geometrische, d.h. es gilt

w_{i_{0}} < v_{i_{0}}

.
Wenn ich nun Basen der Eigenräume

Eig (A, λ_{i})

vereinige, so haben sie

\sum_{k = 1}^{s} w_{k} < \sum_{k = 1}^{s} v_{k} = n

viele Elemente, d.h. wie ich es auch mache, ich erhalte keine Basis aus Eigenvektoren für den

K^{n}

. Gemäß Satz oben ist

A

also nicht diagonalisierbar.

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

10:06 Uhr, 21.09.2019

@ michaL

Danke! Den Satz, auf den du zurückgreifst, haben wir schon bewiesen und der Beweis ist für mich absolut verständlich. Nun werde ich mir deinen Beweis anschauen ...

Sonusfaber aktiv_icon

18:50 Uhr, 21.09.2019

@ michaL

Zwei Bemerkungen vorerst zu deiner Beweisführung.

1) Nein, dass allgemein

v_{i}

\leq

w_{i}

gilt, weiss ich nicht (ich würde gerne einen Beweis dafür haben).
2) Deine Aussage, dass die Vereinigung der Basen der Eigenräume genau n linear unabhängige Vektoren ergit, überzeugt mich nicht. Annahme: sei die Dimension eines ersten Eingeraums 2, so dass er durch zwei linear unabhängige Eigenvektoren aufgespannt wird, und sei die Dimension eines zweiten Eigenraums ebenfalls 2, so dass auch er durch zwei linear unabhängige Vektoren aufgespannt wird. Ergibt die Vereinigung der zwei linear unabhängigen Vektoren des ersten Eigenraums mit den zwei des zweiten vier linear unabhängige Vektoren? Nicht unbedingt.

Konkretes Beispiel:

v_{1}

(1, 0, 0, 0)^{T}

und

v_{2}

(0, 1, 0, 0)^{T}

sind linear unabhängig,

v_{3}

(1, 0, 0, 0)^{T}

und

v_{4}

(0, 0, 1, 0)^{T}

ebenfalls. Die Vereinigung derselben ergibt aber vier Vektoren, die nicht linear unabhängig sind.

Damit will ich nicht behaupten, dass du Unrecht hast, sondern lediglich meine Bedenken äussern ...

michaL aktiv_icon

22:18 Uhr, 21.09.2019

Hallo,

> 1) Nein, dass allgemein vi ≤ wi gilt, weiss ich nicht (ich würde gerne einen Beweis dafür haben).

Der läuft darüber, dass ähnliche Matrizen das gleiche char. Polynom haben. Gelte etwa

A = T^{- 1} B T

für entsprechende Matrizen (d.h. sind

A

und

B

ähnlich), so gilt

χ_{A} (x) = \det (x E - A) = \det (x e - T^{- 1} B T) = \det (T^{- 1} T x E - T^{- 1} B T) = \det (T^{- 1} (x E - B) T)

= \det (T^{- 1}) \cdot \det (x E - B) \cdot \det (T) = \det (x E - B) = χ_{B} (x)

, da

\det (T - 1) \cdot \det (T) = 1

.

Nun zu dem Beweis, dass die geometrische Vielfachheit auf keinen Fall größer sein als die algebraische:
Sei dazu

A

quadratische,

n

-reihige Matrix,

λ

EW von

A

mit geometrischer Vielfachheit

m

, d.h. es gilt

\dim (Eig (A, λ)) = m

oder noch anders gesagt, jede Basis von

Eig (A, λ)

hat genau

m

Elemente.
So eine Basis

B ʹ := {v_{1}, \dots, v_{m}}

von

Eig (A, λ)

nehme ich mir her und ergänze sie zu einer Basis

B

des

K^{n}

.
Sei

T

diejenige Matrix, die den Basiswechsel von

B

zur Standardbasis

E

des

K^{n}

darstellt. (Sie hat als Spalten gerade die Vektoren von

B

.)
Dann hat

B A B^{- 1}

gerade die Gestalt

(\begin{array}{cccccc} λ & * & \dots & * \\ ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ λ & * & \dots & * \\ 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & A ʹ \\ 0 & \dots & 0 \end{array}) = : C

. (Nachrechnen!)
Dabei hat der erste Teil mit den

λ

genau

m

Spalten.
Wenn du jetzt also

χ_{A} (x) \overset{s.o.}{=} χ_{C} (x)

berechnest, erhältst du

χ_{A} (x) = (x - λ)^{m} \cdot χ_{A ʹ} (x)

. Insbesondere ist die algebraische Vielfachheit mindestens so groß wie die geometrische.

> 2) Deine Aussage, dass die Vereinigung der Basen der Eigenräume genau n linear unabhängige Vektoren ergit,
> überzeugt mich nicht.

So ein Fall wie der, den du zu konstruieren versuchst, kann eigentlich nur eintreten, wenn

Eig (A, λ) \cap Eig (A, μ) \neq {0}

für verschiedene

λ \neq μ

EVe von

A

gilt.

Ist aber

v \in Eig (A, λ) \cap Eig (A, μ)

, d.h. gilt

A v = λ v

einerseits und

A v = μ v

andererseits, d.h. insgesamt

λ v = A v = μ v

, so muss wegen

λ \neq μ

v = 0

gelten.
Dein Fall kann also nicht eintreten.

Ich weiß, dass der Schritt meiner Argumentation immer noch recht groß ist, aber auch eine gute Übung darstellt.
Mache dir klar, dass die Vereinigung von Teiler der Basen von

Eig (A, λ)

und

Eig (A, μ)

stets linear unabhängig sein müssen, wegen eben jenes Arguments, dass die Eigenräume außer

0

keine Elemente gemeinsam haben.

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

22:42 Uhr, 21.09.2019

Vielen Dank! Ich werde wohl etwas Zeit brauchen, um deine Ausführungen durchzunehmen ...

Sonusfaber aktiv_icon

16:20 Uhr, 22.09.2019

@ Michael

Den Satz, wonach ähnliche Matrizen dasselbe charakteristische Polynom und daher auch dieselben Eigenwerte haben, kannte ich schon (den Beweis finde ich sehr einfach).

Deinen Beweis, wonach zwei verschiedene Eigenräume zwangsläufig aus verschiedenen Eigenvektoren bestehen bzw. keinen gemeinsamen Eigenvektor haben, finde ich schön und einfach, vielen Dank.

Den Beweis, dass die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts nie grösser ist als die algebraische desselben Eigenwerts, finde ich hingegen schwierig. Verstanden habe ich ihn noch nicht, ich werde aber nochmals versuchen und melde mich dann wieder ...

MfG

Sonusfaber

Sonusfaber aktiv_icon

11:33 Uhr, 24.09.2019

Mir ist der Beweis, dass die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts nie grösser ist als die algebraische, nur stückweise verständlich, womit ich mich nicht zufrieden geben kann. Ich möchte alles verstehen.

Ich rekapituliere daher, was ich (hoffentlich) verstanden habe.

Als Vorwissen für die Beweisführung soll der Satz dienen, dass zwei zueinander ähliche Matrizen A und C dasselbe charakteristische Polynom und daher auch dieselben Eigenwerte mit genau denselben algebraischen und geometrischen Vielfachheiten haben. Grundbedingung für die Ähnlichkeit von A und C ist die Existenz einer regulären Matrix T mit C =

T A T^{- 1}

Gegeben sei also eine (nxn)-Matriz A mit (mindestens) einem Eigenwert

λ

, dessen geometrische Vielfachheit m beträgt. Das heisst, der Eigenraum E(A,

λ

) hat eine aus m linear unabhängigen Eigenvektoren

v_{1}

v_{2}

, ...,

v_{m}

bestehende Basis B': Die Eigenvektoren

v_{1}

v_{2}

, ...,

v_{m}

spannen somit den Eigenraum E(A,

λ

) auf.

Nun kann man die Basis B' zu einer Basis B des

K^{n}

ergänzen, so dass B = {

v_{1}

v_{2}

, ...,

v_{m}

, ...,

v_{n}

}

Sei nun E die kanonische Basis des

K^{n}

und T die Basiswechselmatrix für die Koordinatentransformation von B nach E. Dann hat T als Spalten die Koordinatenvektoren der Basisvektoren

v_{1}

v_{2}

, ...,

v_{m}

, ...,

v_{n}

bezüglich der Basis E, so dass T = (

K_{E} (v_{1})

K_{E} (v_{2})

, ...,

K_{E} (v_{m})

, ...,

K_{E} (v_{n})

) = (

v_{1}

v_{2}

, ...,

v_{m}

, ...,

v_{n}

) = B

Daher ist: C : =

T A T^{- 1}

B A B^{- 1}

Was folgt, verstehe ich leider nicht, auch nicht, warum C so aussieht wir dargestellt ...

MfG, Sonusfaber

michaL aktiv_icon

16:00 Uhr, 24.09.2019

Hallo,

beachte, dass

v_{1}

als Koordinatenvektor bzgl.

B

gerade die Darstellung

(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array})

hat,

v_{2}

als Koordinatenvektor bzgl.

B

gerade die Darstellung

(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array})

usw.

Hilft dir das?

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

17:23 Uhr, 25.09.2019

Trotz langem Überlegen muss ich leider feststellen, dass es mir nicht weiterhilft. Tut mir leid - noch nie hat mir ein Satz derart Schwierigkeiten bereitet ...

ermanus aktiv_icon

18:01 Uhr, 25.09.2019

Hallo,
ich will den Beitrag von Michael vom 21.09. um 22:18 Uhr
nochmal mit meinen Worten erläutern.
Es sei

r = \dim E i g (A, λ)

. Dann hat dieser Eigenraum
eine Basis aus Eigenvektoren

v_{1}, \dots, v_{r}

.
Nun machen wir das so, wie Michael vorschlägt: wir ergänzen
diese Unterraumbasis zu einer Basis des Gesamtraumes:

v_{1}, \dots, v_{r}, v_{r + 1}, \dots, v_{n}

.
Sei nun

T

die Matrix,deren Spalten

v_{1}, \dots, v_{n}

sind.
Dann steht in der

i

-ten Spalte von

T

das Bild des

i

-ten
Einheitsvektors

e_{i}

, d.h. es ist

v_{i} = T e_{i}

für

i = 1, \dots, n

.
Für

i = 1, \dots, r

gilt dann:

T^{- 1} A T e_{i} = T^{- 1} A v_{i} = T^{- 1} λ v_{i} = λ T^{- 1} v_{i} = λ e_{i}

,
d.h. in der

i

-ten Spalte der Matrix

T^{- 1} A T

steht der Vektor

λ e_{i}

. Damit hat die Matrix die Gestalt, wie Michael sie angegeben hat.
Das meinte Michael sicher mit "Nachrechnen" !
Gruß ermanus

Sonusfaber aktiv_icon

09:07 Uhr, 26.09.2019

@ Ermanus

Vielen Dank, ich verstehe mühelos, was du mir erklärt hast. Nun bin ich einen Schritt weiter gekommen. Ich muss noch den Rest verstehen ...

Sonusfaber aktiv_icon

16:57 Uhr, 26.09.2019

Die Berechnung von

χ_{A} (x)

mit dem Ergebnis

χ_{A} (x) = (x - λ)^{m} \cdot χ_{A ʹ} (x)

gelingt mir nicht, das heisst, ich muss nun das charakteristische Polynom

d e t (x E_{n} - C)

berechnen wegen

χ_{A} (x) = χ_{C} (x)

, aber eben, es klappt irgendwie nicht. Ich finde, die ersten m Spalten der Matrix

x E_{n} - C

bestehen aus Nullen ...

michaL aktiv_icon

19:13 Uhr, 26.09.2019

Hallo,

entwickle die Determinante

\det (x E - C)

doch nacheinander nach den ersten

m

Spalten.

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

21:30 Uhr, 27.09.2019

Hallo,

hm, ich habe deine letzte Antwort wohl nicht richtig gelesen. Bitte um Entschuldigung.
Hast du dir mal ein Beispiel hergenommen?

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

07:28 Uhr, 28.09.2019

Kein Problem. Ich habe erst morgen Zeit dafür, bin auf Reise. Ich melde mich wieder, danke ...

Sonusfaber aktiv_icon

11:03 Uhr, 30.09.2019

Als Beispiel habe ich mir die Matrix

A = \ l e f t (\ b e g i n {e q n a r r a y} 0 & - 1 & 1 \ \ - 3 & - 2 & 3 \ \ - 2 & - 2 & 3 \ e n d {e q n a r r a y} \ r i g h t)

ausgesucht, für die gilt:

p_A (z) = - (z - 1)^2 (z + 1)

, sie hat also zwei Eigenwerte

z_1

= 1 mit alg. Vielfachheit 2 und

z_2

= -1 mit alg. Vielfachheit 1.

Die Basisvektoren von Eig(A, 1) sind

\ l e f t (\ b e g i n {e q n a r r a y} 1 \ \ 0 \ \ 1 \ e n d {e q n a r r a y} \ r i g h t)

und

\ l e f t (\ b e g i n {e q n a r r a y} 0 \ \ 1 \ \ 1 \ e n d {e q n a r r a y} \ r i g h t)

und von Eig(A, -1) ist der Basisvektor

\ l e f t (\ b e g i n {e q n a r r a y} 1 \ \ 3 \ \ 2 \ e n d {e q n a r r a y} \ r i g h t)

.

Daher lautet

C = T A T^{- 1}

\ l e f t (\ b e g i n {e q n a r r a y} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & A' \ e n d {e q n a r r a y} \ r i g h t)

, wobei A, mit der ist die Basis von Eig(A, 1) zu einer Basis des

R^3

ergänze, in diesem Fall eine 1x1-Matrix ist.

Wenn ich nun

p_C (z)

berechne. ergibt sich:

p_C (z) = p_A (z) = - (z - 1)^2 (z E_1 - A') = - (z - 1)^2 (z - A') = - (z - 1)^2 p_A' (z)

Warum mit diesem Schritt der Satz bewiesen sein soll, verstehe ich nicht ...

ermanus aktiv_icon

16:55 Uhr, 30.09.2019

Hallo,
vielleicht gucke ich nicht richtig; aber ist dein

A

wirklich so wie von dir angegeben?

A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 1 \\ - 3 & - 2 & 3 \\ - 2 & - 2 & 3 \end{array})

Gruß ermanus

Sonusfaber aktiv_icon

17:34 Uhr, 01.10.2019

Sorry, bei der Eingabe hatte ich Fehler gemacht, es tut mir leid. Nun gebe ich denselben Text wieder ein und richtig formatiert.

@ Ermanus: Ja, die Matrix ist die, die du angegeben hast. Quelle: www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Mat4/waldi/skriptlinalg/kapIII_para5.pdf

Als Beispiel habe ich mir die Matrix

A = (\begin{array}{rcl} 0 & - 1 & 1 \\ - 3 & - 2 & 3 \\ - 2 & - 2 & 3 \end{array})

ausgesucht, für die gilt:

p_{A} (z) = - (z - 1)^{2} (z + 1)

, sie hat also zwei Eigenwerte

z_{1} = 1

mit alg. Vielfachheit 2 und

z_{2} = - 1

mit alg. Vielfachheit 1.

Die Basisvektoren von Eig(A, 1) sind

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

und

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})

und von Eig(A, -1) ist der Basisvektor

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array})

.

Daher lautet

C = T A T^{- 1} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & A' \end{array})

, wobei A, mit der ist die Basis von Eig(A, 1) zu einer Basis des

R^{3}

ergänze, in diesem Fall eine 1x1-Matrix ist.

Wenn ich nun

p_{C} (z)

berechne. ergibt sich:

p_{C} (z) = p_{A} (z) = - (z - 1)^{2} (z E_{1} - A') = - (z - 1)^{2} (z - A') = - (z - 1)^{2} p_{A}' (z)

Warum mit diesem Schritt der Satz bewiesen sein soll, verstehe ich nicht ...

ermanus aktiv_icon

18:26 Uhr, 01.10.2019

Hallo,
das Beispiel, das du hier angibst, ist zu "gutwillig", da wir
hier ja eine Basis aus Eigenvektoren finden und damit
die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen ist.
Nimm lieber mal folgende Matrix - hoffentlich habe ich mich
nicht verrechnet - :

A = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 4 & 0 & - 1 \end{array})

Finde den / die Eigewerte, dann den / die Eigenräume und
zugehörige Basen und transformiere entsprechend

A

.
Gruß ermanus

Sonusfaber aktiv_icon

12:11 Uhr, 03.10.2019

@ Ermanus

Danke für die Matrix A!

Ich habe folgende (hoffentlich richtige) Eigenwerte und Eigenräume gefunden, es muss aber einen Fehler geben:

z_{1} = 1

z_{2} = 1 + 2 \sqrt{2}

z_{2} = 1 - 2 \sqrt{2}

Das heisst:

d e t (A - z E_{2}) = (z - 1) (z - 1 - 2 \sqrt{2}) (z - 1 + 2 \sqrt{2})

Alle drei Eigenwerte haben daher die algebraische Vielfachheit 1

Eig(A, 1) = {

\vec{x} \in ℝ^{3} = r (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})

}
Eig(A,

z_{2} = 1 + 2 \sqrt{2}

) =

\vec{0}

Eig(A,

z_{2} = 1 - 2 \sqrt{2}

) =

\vec{0}

Das heisst, der Eigenraum Eig(A, 1) hat einen einzigen Basisvektor, so dass die algebraische und die geometrische Vielfachheit von

z_{1}

übereinstimmen.

Die übrigen zwei Eigenräume besitzen keinen Basisvektor, daher haben die zugehörigen Eigenwerte die geometrische Vielfachheit null und die algebraische Vielfachheit 1

Bist du zum selben Ergebnis gekommen?

ermanus aktiv_icon

12:17 Uhr, 03.10.2019

Hallo,
bei der Bestimmung des charakteristischen Polynoms
hast du dich wohl verrechnet. Es ist

p_{A} (X) = (X - 1)^{3}

.
Gruß ermanus

Sonusfaber aktiv_icon

18:47 Uhr, 03.10.2019

Ja, du hast Recht, ich haben einen Vorzeichenfehler ...

Sonusfaber aktiv_icon

18:14 Uhr, 04.10.2019

Es ist also:

p_{A} (x) = (x - 1)^{3}

Daher hat der Eigenraum Eig(A, 1) den Basisvektor

\vec{x} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})

.
Das heisst, der Eigenwert 1 hat die geometrische Vielfachheit m = 1 und die algebraische Vielfachheit 3.
Nun ergänze ich diese Basis zu einer Basis C des

ℝ^{3}

mit

C = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array})

Zu zeigen ist die Aussage von michaL, wonach

p_{A} (x) = p_{C} (x) = (x - 1)^{m} p_{A ʹ} (x)

und es ist:

p_{A} (x) = (x - 1)^{1} p_{A ʹ} (x) = (x - 1)^{1} (x - 1)^{2}

Ja, in diesem Fall ist die algebraische Vielfachheit mindestens so gross wie die geometrische - es ist aber kein Beweis, finde ich.

Sorry, vielleicht bin ich doof, vielleicht nur müde - ich habe derzeit zu viele nicht-mathematische Gedanken, die ich nicht ignorieren darf .... :-)

ermanus aktiv_icon

18:52 Uhr, 04.10.2019

Hallo,
der Vektor

(0, 1, 0)^{T}

ist doch auch ein Eigenvektor, der lin. unabhängig
von

(1, 0, 2)^{T})

ist, also hat der Eigenraum die Dimension 2, d.h.
die geometrische Vielfachheit des EW 1 ist 2.
Deine Transformationsmatrix können wir zum Glück beibehalten.
Ich nenne sie aber nicht

C

, sondern

T

, wie Michael es getan hat,
sonst bekommen wir wirklich alles durcheinander; denn er gibt der
transformierten Matrix

T^{- 1} A T

den Namen

C

.
Im aktuellen Fall bekommen wir so

T^{- 1} A T = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & * \\ 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & \tilde{A} \end{array}) = : C

uind es ist klar, dass

\det (X E - C) = (X - 1)^{2} \det (X E - \tilde{A})

ist, dass also

(X - 1)^{2}

ein Teiler von

p_{A} (X)

ist.

Daraus kannst du - siehe die von Michael allgemein angegebene Situation -
doch verallgemeinernd schließen, dass folgendes gilt:
Hat der Eigenraum eines Eigenwertes

λ

die Dimension

e

,
dann ist

(X - λ)^{e}

ein Teiler von

p_{A} (X)

.
Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung in irreduzible Faktoren
(

K [X]

ist faktoriell) folgt dann das Gewünschte.
Gruß ermanus

Sonusfaber aktiv_icon

15:20 Uhr, 06.10.2019

Alles klar endlich. Vielen herzlichen an Michael und Ermanus für die Geduld ... :-)

1481685

1480652

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?