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allgemeine folgen infimum und supremum bestimmen

Schüler

Tags: allgemeine folgen, komme nicht auf infimum, supremum bestimmt

nina-alexandra aktiv_icon

16:36 Uhr, 25.03.2012

hallo ihr lebensretter !

es geht um folgendes : angabe : folge an

= \frac{8 n + 1}{6 n - 3}

a)

bestimme monotonie

b)

ist

\frac{1}{3}

die untere schranke ?

c)

ist

\frac{5}{4}

die obere schranke ?

d)

bestimme infimum und supremum

so

- a)

mein ergebnis

30 n < 30 n - 30

FRAGE : warum weiss man jetzt dass sie

s . m . f

. ist ?

b)

mein ergebnis

: n

≥

- \frac{1}{3}

FRAGE : warum heisst das jetzt, dass

\frac{1}{3}

die untere schranke ist ?

c)

mein ergebnis

: n

≤

- \frac{7}{2} = - 3,5

FRAGE warum weiss man jetzt dass

\frac{5}{4}

NICHT die obere schranke ist ?

UND NUN

d)

meine idee zur lösung : für

n

nat. Zahlen einsetzen : setzte ich für

n,

die Zahl " 1 " ein , erhalte ich

3,

was laut lösung dem

\supset

. entspricht , wie komme ich nun aufs inf. ?? (laut lösung ist das inf.

\frac{4}{3})

ich verstehs nicht !

(habe

2,3,4, ... ... ... .

. eingesetzt , bekomme aber nie

1,3

bzw

\frac{4}{3}

heraus )

glg und 1000dank für eure hilfe,
nina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Rasaphar aktiv_icon

18:00 Uhr, 25.03.2012

Ok, dann mal von vorn:

Deine Überlegung zu

a)

kann ich nicht nachvollziehen. Allgemein gilt für Monotonie, dass man schauen muss, ob mein

a_{n}

größer oder kleiner als mein

a_{n + 1}

ist.

Dann kann man mit scharfem Hingucken machen, oder ganz normal mit bestimmten Kriterien.

Ich mach es mal mit scharfem Hingucken:
für

a_{n}

haben wir:

\frac{8 n + 1}{6 n - 3}

und für

a_{n + 1}

haben wir dann

\frac{8 (n + 1) + 1}{6 (n + 1) - 3} = \frac{8 n + 9}{6 n + 3}

Mal für

n

eine 1 einsetzen, dann ist

a_{n} = \frac{9}{3} = 3

und

a_{n + 1} = \frac{17}{9} < 3

Scheint wohl monoton fallen zu sein. Mit dem Quotientenkriterium könntest du das noch allgemein zeigen, danach muss gelten:

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < 1

für streng monoton fallend. (Wird ja

< 1,

wenn im Zähler was kleineres steht als im Nenner, also der Nachfolger kleiner ist als sein Vorgänger)
Versuch das mal formal zu zeigen.

Nun zu

b)

Erstmal gibt es nicht "die" untere Schranke, eine Funktion kann mehrere haben, und eine "größte" untere Schranke (das Infimum).
Und nachdem ich mir die Funktion habe zeichnen lassen und mir nochmal die Definition einer unteren Schranke angeschaut habe, die da lautet:

x_{0}

ist untere Schranke

\Leftrightarrow x_{0} < x \forall x

soll heißen: mein

x_{0}

ist untere Schranke, wenn KEINES meiner Folgenglieder unter dieses

x_{0}

kommt.
Und bei dieser Funktion seh ich, dass sie um

x = \frac{1}{2}

herum links davon gegen

- \infty

geht und rechts davon gegen

+ \infty

.
Daraus würde ich schließen, dass sie gar keine Schranken besitzt. Und somit auch kein Infimum und Supremum.

[

EDIT]: Hab mal ne Zeichnung dazugepackt, damit du siehst, dass um

x = \frac{1}{2}

herum die Funktion einmal nach

+ \infty

und einmal nach

- \infty

geht.

In Aufgabe

d)

könnte man höchstens den Grenzwert für

n \to \infty

berechnen.

Das macht man folgender Maßen:

a_{n} = \frac{8 n + 1}{6 n - 3}

ich will:

lim_{n \to \infty} \frac{8 n + 1}{6 n - 3}

haben.
Nun klammere ich

n

oben und unten aus und kürze es weg, dann steht da:

lim_{n \to \infty} \frac{n (8 + (\frac{1}{n}))}{n (6 - (\frac{3}{n}))} = lim_{n \to \infty} \frac{8 + (\frac{1}{n})}{6 - (\frac{3}{n})}

Lass ich nun

n \to \infty

laufen, werden

\frac{1}{n}

und

- (\frac{3}{n})

zu Nullfolgen. Also bleibt nurnoch

\frac{8}{6}

übrig und dass sind

\frac{4}{3}

.

Bitte schau nochmal genau nach, ob du die Folge richtig abgeschrieben hast und ob

b) c)

und

d)

SO formuliert sind.

Wenn ich keinen groben Denkfehler habe, dann machen diese Teilaufgaben nämlich keinen Sinn.

MfG

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

nina-alexandra aktiv_icon

18:39 Uhr, 25.03.2012

hallo , erstmaml VIELEN DANK für die hilfe.

habe nochmal genau nach kontrolliert und die angaben stimmen

100 %,

auch die formulierungen der einzelnen punkte sind korrekt.

hier nochmal die angabe :

Gegeben ist die FOlge an

= \frac{8 n + 1}{6 n - 3}

a)

Bestimme die Monotonie der Folge

b

)ist

\frac{1}{3}

die untere schranke dieser folge ?

c)ist

\frac{5}{4}

die obere schranke dieser folge ?

d)

Bestimme Infimum und Supremum !

DIE LÖSUNGEN LAUTEN

(s . m . f

. ; ja; nein; inf=4/3 ; sup=3;-)

zum infimum bin ich nach weiterm herum-probieren dann auch über den limes gekommen

(\frac{8 + 0}{6 - 0} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3})

Rasaphar aktiv_icon

18:44 Uhr, 25.03.2012

Ja, Problem an der Sache ist, dass die Folge gar kein Infimum und Supremum hat.

ES SEI DENN:

n \in ℕ

Wenn das vorgegeben ist, dann ändert sich das, aber ich kenne Folgen nur als Graph.

Wenn aber

n \in ℕ

sein soll, dann hauen deine Antworten schon hin, Infimum an der Stelle

x = 1

und Supremum an der Stelle

x = 2

.

Sonst klappt das aber nicht.

MfG

[

EDIT]: Hab nochmal nachgelesen. Folgen sind wohl von

ℕ \to ℝ

definiert (meistens) also ist

n \in ℕ

und somit haut das alles hin. Ich hab mir den Graphen angeschaut, aber das ist natürlich Blödsinn.

Sind noch Fragen offen?

MfG

nina-alexandra aktiv_icon

18:52 Uhr, 25.03.2012

mhhm . ..

ich kenn folgen leider gar nicht als graph , der definitionsbereich ist hier leider nicht angegeben.

ich kann mich nur drauf verlassen dass die lösungen stimmen , aber deine hilfe zur monotonie (mit scharfem hinschauen ) hat mir wirklich gut geholfen !

vielen dank auch für die zeichnung !

da ich leider ein mathematischer nackerpatz bin überschreitet es meine fähigkeiten zu sagen ob nun du oder die lösungen recht haben

...

. die angabe stimmt jedenfalls

100 % ... .

.

ganz, ganz liebe grüße und VIIIIIIIIIIIIELEN DANK für deine bemühungen ,

nina

Rasaphar aktiv_icon

18:54 Uhr, 25.03.2012

Ja, ich hab mir einen Patzer geleistet. Folgen sind ja für für

n \in ℕ

definiert, also sind deine Lösungen richtig.

Und in der Zeichnung musst du die die Linien zwischen den natürlichen Zahlen einfach wegdenken und nur Punkte bei

1,2,3,4 . .

. denken.

Dann passt das alles.

MfG

988120

988086

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