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archimedisches axiom bei rationalen Funktionen

Universität / Fachhochschule

Tags: archimedisches Axiom, Rationale Funktionen

mangilo aktiv_icon

10:32 Uhr, 10.12.2015

hallo :-)

Es geht um das archimedische Axiom:
Definition: Wir sagen ein angeordneter Körper erfüllt das archimedische Axiom, wenn gilt:
für alle

x > 0

und

y > 0

existiert ein

n

∈

N,

so dass

n

x > y

.

Das klingt für die Körper

K = Q

und

K = R

ja soweit ganz logisch.

Allerdings ist dieses Axiom nicht erfüllt für die rationalen Funktionen.

Das ist das, was ich nicht verstehe.

Am besten verstehe ich es bestimmt, wenn ich folgendes Beispiel aus der Vorlesung verstanden habe:

"Wenn wir den Körper

K

der rationalen Funktionen mit der oben dedefinierten Ordnung
betrachten, dann sehen wir, dass

>

alle Ordnungsaxiome

(O 1)

bis

(O 4)

erfüllt. Aber

>

erfüllt nicht das archimedische Axiom. In der Tat, fur die rationalen Funktionen

p = 1

und

q = x

gilt:

1 > x,

[

In der Tat, denn fur

x

∈

(0; 1)

gilt, dass

1 > x]

aber es gilt auch fur alle

n

∈

N,

dass

1 > n

x

[

In der Tat, denn fur

x

∈

(0; \frac{1}{n})

gilt, dass

1 > n \cdot x

]

"

Was heißt das nun?
Dass die Gleichungen an sich so richtig sind ist logisch. also dass zB.

1 > 0,5 . .

.
Soll es ausdrücken, dass es kein festes

n

gibt, sodass

1 \cdot n > x

richtig ist, weil

x

beliebig groß werden kann?
Oder soll es heißen, dass man das "n" auch auf die andere Seite stellen kann:

1 > n \cdot x

und das das archimedische Axiom ausschließt? Weil normalerweise sollte es ja lauten:

1 \cdot n = x

Vielen Dank

Mangilo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:04 Uhr, 10.12.2015

Es ist nicht einfach zu entschlüsseln, was genau Dein Problem ist, aber ich versuche es. :-)

Vermutlich geht es darum, zu zeigen, dass rationale Funktionen auf

(0, 1)

das Axiom von Archimedes nicht efüllen. Als Beispiel nimmt man zwei Funktionen:

1

(Konstante Eins) und

x

. Für sie gilt natürlich

1 > x > 0

. Aber es gibt kein

n

, so dass

n x > 1

gelten würde, denn dann müsste auch

n \cdot \frac{1}{2 n} > 1

gelten, weil

\frac{1}{2 n} \in (0, 1)

, aber

\frac{1}{2} > 1

stimmt natürlich nicht.

mangilo aktiv_icon

12:11 Uhr, 10.12.2015

Ich habe das, was dazu gesagt wurde, vollkommen aus dem Skript von Anfang bis Ende hier gepostet. Also es steht nirgends, dass man nur das begrenzte Gebiet

(0,1)

betrachtet.

Folgerung des ganzen soll sein, dass die rationalen Funktionen nicht das archimedische Axiom erfüllen. Ich versuche nun nachzuvollziehen, wieso das so ist.

du hast

x = \frac{2}{n}

ersetzt. Ist das in diesem Fall nicht eine Konstante?

z . B

n = 5 \Rightarrow x = 0,2

.

Dann könnte man ja leicht ein... zB.

m

∈

N

finden, sodass

m \cdot x > 1

.
also

m \cdot 0,2 > 1

(z . B

m = 6 \cdot n)

und schon wäre das Problem gelöst, und die beiden Funktionen erfüllen das

a . A

- - - - - - - - - - - - - - - -

und wo ist der Unterschied zu folgendem: Kann man

x = \frac{1}{n}

(mit

n

∈

N)

nicht als eine reelle Zahl bezeichnen?

Dann lautet

n \cdot x > y

folgendermaßen:

n \cdot \frac{1}{2} n > 1

Dann hat man das gleiche Problem, nur dass man bei den reellen Zahlen ist. und diese erfüllen dieses Axiom.

Ich habe mir Mühe gegeben, es leicht entschlüsselbar aufzuschreiben. Ich hoffe, es hat ein wenig funktioniert...

LG

DrBoogie aktiv_icon

12:18 Uhr, 10.12.2015

"Ich habe das, was dazu gesagt wurde, vollkommen aus dem Skript von Anfang bis Ende hier gepostet. Also es steht nirgends, dass man nur das begrenzte Gebiet betrachtet."

Nun, leider steht dann Quatsch im Skript. Denn die Behauptunt

1 > x

gilt ohne Einschränkung auf

(0, 1)

nicht.

"Ist das in diesem Fall nicht eine Konstante?"

Nein, eine Konstante ist für alle Zeiten gleich. Ich wähle aber

x

immer in Abhängigkeit von

n

aus.

Der Unterschied zwischen Zahlen und Funktionen ist, dass Funktionen viele verschiedene Werte annehmen. Das habe ich bei meiner Argumentation auch ausgenutzt.

Aber da die Aufgabe nicht korrekt formuliert ist, ist es eigentlich nur die Zeitverschwendung, sie zu besprechen. Schlechte Skripte gehören in die Mülltonne. :-)

mangilo aktiv_icon

12:33 Uhr, 10.12.2015

" Ich wähle

x

aber immer in Abhängigkeit von

n

aus. "

Das ist die Anmerkung, die mir gefehlt hat. Hoffentlich :-)

Also man betrachtet:

n \cdot x > 1

.

wählt man

z . B

n = 5

x

kann allerdings beliebige Werte annehmen (da es eine rationale Funktion ist)

Dann hat man mit

x = 0,5

keine Probleme.

Wählt man nun aber

x = 0,1

dann ist

5 \cdot 0,1 = 0,5 > 1

.

Und das stimmt nicht.

Und deshalb sagt man, das archimedische Axiom ist nicht erfüllt!?

Vielen Dank

DrBoogie aktiv_icon

12:35 Uhr, 10.12.2015

"Und deshalb sagt man, das archimedische Axiom ist nicht erfüllt!?"

Ja, im großen und ganzen. Aber dieses Beispiel funktioniert, wie gesagt, nur bei einer Einschränkung auf

(0, 1)

mangilo aktiv_icon

12:37 Uhr, 10.12.2015

okay, Danke :-)

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