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arcsinus Reihendarstellung

Schüler Fachschulen, 13. Klassenstufe

Tags: Analysis

anonymous

20:07 Uhr, 01.12.2005

Hallo erstmal.

Ich habe ein mehr oder minder großes Problem: ich habe in letzter Zeit einiges über Reihendarstellung und Taylor gelesen, aber ich bin mit so wenig Praxis einfach noch immer nicht in der Lage die folgende Funktion darzustellen.

Ich soll so eine Näherung für pi angeben, dazu soll ich also die Reihendarstellung von

arcsin bzw. von 1/sqnt(1-x^2) angeben.

Kann mir das jemand etwas ausführlicher vorrechnen, damit ich es auch nachvollziehen kann?

Gruß Richi

richi

21:52 Uhr, 01.12.2005

Ich weiß es ist nicht gerade eine leichte Übung und ihr müsstet mir auch einiges hinschreiben damit ich es verstehe. Wenn sich einer von euch die Mühe machen würde wäre ich jedoch sehr froh. Komme alleine einfach nicht weiter.

Wenn ihr nicht ganz versteht was ich überhaupt brauche mail mir ruhig: richi@hsgcom.de

Gruß

fermat

22:09 Uhr, 01.12.2005

Kennst du die Maclaurinsche Form der Reihe von Taylor?
Damit kannst du die reihe für arcsin(x) entwickeln
es ist wie folgt

f (x) = f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!} x + \frac{f^{''} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} x^{3} + ... \arcsin (x) = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{9 x^{5}}{5!} + \frac{225 x^{7}}{7!} + ... Beispiel für x = 0, 5 durch berechnung der ersten 4 glieder \arcsin (0, 5) = ca . 0, 5235258557 exakt \arcsin (0, 5) = 0, 5235987756 differenz = 0, 0000729198983

wie man sieht ist die reihe des arcsin schnell konvergent schon beim vierten gleid gibt es nur noch einen minimalen unterschied zum exakten wert.
ich hoffe dass du es ungefähr weißt

richi

08:02 Uhr, 02.12.2005

Ich glaube es kaum :) Ich verstehe es.

Nun wollte ich ja über die den arcsin(x) einen näherungswert für pi angeben, indem ich die Bogenlänge von einem Kreis bestimmt habe.

folglich müsste für die gleiche reihe wenn ich x=1 einsetze (und vorhin immer am einheitskreis gerechnet habe) für die Reihe pi/2 rauskommen?

wenn ja dann bin ich glücklich, da ich es nun endlich verstehe :)

richi

14:56 Uhr, 02.12.2005

Mit dieser Formel habe ich für arcsin(1) bis zum 10. Glied den Wert berechnet, er liegt bei 1,391694646. Das ist noch immer verdammt weit entfernt von pi/2. Um auf diesen Wert zu kommen, müsste ich es ja auf das 500. Glied bestimmen, aber eher unendlich. Kann ich das sonst nur mit einem Programm berechnen? Oder kann man da noch auf die schöne Art (Bleistift & Papier) noch was machen?

Soll ja den Wert zwar nur annähern, aber schon auf 5 Dezimalen. Mein Wert ist da eine unendlichkeit weit von entfernt :)

fermat

15:11 Uhr, 02.12.2005

ja die reihe konvergiert fürx=1 gegen pi/2
allerdings wäre es günstiger pi/6 zu berechnen da
arcsin(0,5) viel schneller konvergiert
6*arcsin(0,5)=pi
die reihe konvergiert sehr schnell und man hat schon bei wenigen gliedern pi raus, wobei man für 2*arcsin(1)
etwas mehr glieder braucht
für vier gleider erhält man 2,5726 was zu ungenau ist.
bei 6*arcsin(0,5)=ca.3,141155134 ist es sehr schneller konvergiert
du musst den konvergenzradius kennen. das dumme ist,d as um das auszurechnen muss man die glieder in einer allgemein gültigen form darstellen

ich komm bei dieser funktion nicht drauf, wegen dem vorfaktor
1;1;9;225;11025;...
das sin alles quadratzahlen
jedenfalls ist der konvergenzradius

r = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} wobei f (x) = Σ_{n = 0}^{\infty} (a_{n} x^{n})

ich versuch mal die folge in so eine summe zu packen.
jedenfalls sollte die x kleiner als 1 sein damit es auf jedenfall schnell konvergiert.

falls x = + ξ wobei ξ \geq 0 konvergent ist dann gilt das auch für al le x mit - ξ < x \leq + ξ

ich hoffe dass du es verstehst

fermat

17:46 Uhr, 02.12.2005

ich hab die folge jetzt so berechnet, dass ich sie als summenfolge habe und erhalten hab ich

\arcsin (x) = Σ_{n = 0}^{\infty} (\frac{Π {(2 n + 1)}^{2}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1})

Damit erhalte ich wie folgt den Konvergenzradius

r = \lim_{n \to \infty} (\frac{Π_{n = 0}^{\infty} {(2 n + 1)}^{2} * (2 n + 3)!}{Π {(2 n + 3)}^{2} * (2 n + 1)!}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{Π_{n = 0}^{\infty} {(2 n + 1)}^{2} * (2 n + 3)}{Π_{n = 0}^{\infty} {(2 n + 3)}^{2}}) = \lim_{n \to \infty} (Π_{n = 0}^{\infty} {(\frac{2 n + 1}{2 n + 3})}^{2} * (2 n + 3)) = \lim_{n \to \infty} (Π_{n = 0}^{\infty} {(\frac{2 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}})}^{2} * (2 n + 3))

jetzt versuch das mal weiter zu errechnen der produkt ausdruck strebt gegen 0 und nicht gegen 1 und das (2n+3) gegen unendlich
jetzt hat man da diesen undefinierten ausdruck 0*unendlich jetzt ist die frage wie man diesen grenzwert am besten bestimmen kann

edith: mist ich hab einen kleinen fehler gemacht den auszubessern hab ich jetzt keine zeit vielleicht schaffst du es selber es ist bei der anfangs genannten summenformel
nur ein kleiner fehler

richi

19:09 Uhr, 02.12.2005

Das scheint mir ein wenig kompliziert. Ich muss mir selbst die Umformungen gut anschauen, mit Fakultät und Grenzwerten habe ich manchmal noch so meine Schwierigkeiten.

Im großen und Ganzen sollte ich es jedoch verstehen.

Aber woher weiß ich denn, dass der arcsin(0,5)=pi/6 ist?

Mit der Bogenlängenfunktion kann ich zeigen, dass arcsin(1)=pi/2 ist, das Integral von -1 bis 1 von 1/sqrt(1-x^2) ist folglich pi, und wenn ich dies an der x-achse spiegle habe ich einen Kreis, dessen Umfang 2pi ist.

Aber wie beweise ich, dass arcsin(0,5) gleich pi/6 ist, OHNE die Reihenentwicklung zu beobachten und festzustellen, dass da tatsächlich sich eine Näherung für pi/6 ergibt.

fermat

19:35 Uhr, 02.12.2005

wie man das ohne potenzreihe rausfinden sollte ist etwas schwieriger

es gibt eine möglichkeit aber dann hasst du praktisch nicht über die bogenlänge gemacht

pi/6 entspricht in gradmaß 30 grad sin30 ist gleich 0,5

das findet man raus wenn man versucht den sinus an einem gleichseitigen dreieck zu berechnen und dann die höhe einzeichnet hat man zwei teildreiecke mit den winkeln 30 60 90. dareaus erhälst du dann sin(30)=0,5

und damit weißt du das arcsin(0,5)=pi/6 ist

ansonsten geht das nur über potenzreihen, aber das willst du ja nicht.

richi

19:48 Uhr, 02.12.2005

Super, danke, hätte ich selbst drauf kommen sollen.

Ja, mir sind elegante Lösungen lieber als schwer verständliche :) Aber vielen Dank für deine Geduld Fermat, hast was gut bei mir.

Soll ich dir nen Schokonikolaus schicken? :)

fermat

19:54 Uhr, 02.12.2005

ja so einen großen schokonikolaus, da freu ich mich schon drauf, es ist ja bald nikolaus nächste woche dienstag.

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