Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Inhomogene DGL 2. Ordnung

Inhomogene DGL 2. Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Michii21 aktiv_icon

18:07 Uhr, 20.09.2012

Hey Leute,

bin gerade am Üben für meine Matheprüfung
und hab hier 2 inhomogene DGL's 2. Ordnung, die mir
irgendwie ziemlich Schwierigkeiten bereiten, wobei
ich erst einmal nur nach der einen frage..
Es sind immer Lösungen vorgegeben, wo man dann natürlich die richtige
Auswählen bzw. berechnen muss.

1)

Störgliedansatz für

y'' - 3 y = x \cdot e^{x}

a) y_{p} = A \cdot e^{x}

b) y_{p} = A \cdot x \cdot e^{x}

c) y_{p} = (A \cdot x + B) \cdot e^{x}

2)

Lösen Sie die DGL von

1)

a) y = K \cdot e^{3 x} + (\frac{x}{2} - \frac{1}{4}) \cdot e^{x}

b) y = K \cdot e^{3 x} - (\frac{x}{2} + \frac{1}{4}) \cdot e^{x}

c) y = K \cdot e^{3 x} - (\frac{x}{2} - \frac{1}{4}) \cdot e^{x}

Also meine Überlegungen dazu sind:
zu

1)

Der Störgliedansatz müsste in diesem Fall

c) (A \cdot x + B) \cdot e^{x}

sein, da

x \cdot e^{x}

das Störglied ist und somit eine Kombination
aus dem Störgliedansatz für Polynomfunktionen und dem Ansatz für
Exponentialfunktionen gewählt werden muss.
zu

2)

Auf die Lösung kommt man ja, indem man zunächst durch den

e^{λ \cdot x}

-Ansatz die homogene Lösung

y_{h}

findet.
Das wäre

λ_{1,2} = \pm \sqrt{3}

und somit

y_{h} = C_{1} \cdot e^{λ_{1} \cdot x} + C_{2} \cdot e^{λ_{2} \cdot x}

oder sehe ich das falsch?

Dann kommt der Störgliedansatz mit

y_{p} = (A \cdot x + B) \cdot e^{x}

y_{p}' = (A \cdot x + A + B) \cdot e^{x}

y_{p}'' = (A \cdot x + 2 \cdot A + B) \cdot e^{x}

So, dies setzt man nun in die DGL ein,also

y_{p}'' - 3 y_{p} = x \cdot e^{x}

(A \cdot x + 2 \cdot A + B) \cdot e^{x} - 3 \cdot (A \cdot x + B) \cdot e^{x} = x \cdot e^{x}

wobei man noch durch

e^{x}

dividieren kann und

(A \cdot x + 2 \cdot A + B) - 3 \cdot (A \cdot x + B) = x

übrig bleibt. Und genau da ist mein Latein am Ende,
stehe da ziemlich auf dem Schlauch.
Wie geht's weiter?
Normalerweise ja eigentlich indem ich A und

B

bestimme,aber
das bekomme ich nicht auf die Reihe.
Wäre für Hilfe sehr dankbar..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

CKims aktiv_icon

18:51 Uhr, 20.09.2012

1)

ist korrekt... aber ist deine begruendung nicht richtig... begruendung: kombination aus polynomansatz und ansatz für exponentialfunktionen gilt im allgemeinen nur fuer das superpositionsprinzip... wenn deine störfunktion also

z . B

x + e^{x}

lauten wuerde. die richtige begruendung ist der sogenannte resonanzfall. allerdings kann man erst auf diesen schliessen, wenn man bereits die homogene loesung der dgl kennt... was wir ja offiziell mit aufgabe

1)

noch nicht kennen. daher denke ich, dass man nur durch "genaues" hingucken ergruenden kann, dass nur option

c)

in frage kommt... also ansaetze kurz ableiten und einsetzen.

2)

hast du die aufgabe richtig abgeschrieben?? keine der optionen

a), b)

oder

c)

ist loesung der dgl... aber prinzipiell musst du auch nur die loesungen nehmen... ableiten und in die dgl einsetzen... schau welche der drei optionen die dgl loest... das ist viel einfacher als die loesung zu berechnen.

lg

Michii21 aktiv_icon

16:44 Uhr, 21.09.2012

Jap, habe die Aufgabe richtig abgeschrieben.
Verstehe auch gar nicht wo dieses "K*e^(3x) herkommt.
Also zusammenreimen könnte ichs mir schon,nämlich

K = C_{1} + C_{2}

und

e^{3 x} = e^{- \sqrt{3} x} \cdot e^{\sqrt{3} x},

welches allerdings

e^{0} = 1

ergeben würde..Verwirrt mich..aber nicht so wichtig.
Ungeachtet der vorgegebenen Lösungsmöglichkeiten, wie käme ich
denn dann auf die Koeffizienten A und