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b-adische Brüche

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00:23 Uhr, 01.12.2019

Hallo zusammen,

ich muss leider nach Hilfe für diese Aufgaben fragen, weil ich da nicht weiß wie ich diese Sachen zeigen soll. Mir sind alle drei Aufgabenteile klar warum diese gelten, ich weiß aber leider nicht wie ich diese zeigen soll.

(b-adische Bruchentwicklung rationaler und irrationaler Zahlen)

(a)

Es sei

x \in ℝ

eine Zahl, die mehr als eine b-adische Bruchentwicklung besitzt. Zeigen Sie, dass alle b-adischen Bruchentwicklungen von

x

periodisch sind.

(b)

Es seien

x, y

≥ 0 reelle Zahlen mit periodischer b-adischer Bruchentwicklung. Zeigen Sie, dass

x + y

auch eine periodische b-adischer Bruchentwicklung besitzt.

(c)

Zeigen Sie, dass für alle

x

∈ die folgenden drei Bedingungen äquivalent sind.

(i)

Eine b-adische Bruchentwicklung von

x

ist periodisch.

(i i)

Alle b-adischen Bruchentwicklung von

x

sind periodisch.

(i i i)

Die Zahl

x

ist rational.

Falls mir jemand helfen möchte, würde ich erstmal gerne erstmal nur die

a)

bearbeiten, falls ich dadurch in den anderen Aufgabenteilen weiter komme dann würde ich meine Ideen zur Kontrolle nochmal hier schreiben.

Viele Grüße ich hoffe mir kann jemand helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mew93 aktiv_icon

22:22 Uhr, 01.12.2019

*Push* Ich würde mich auch sehr über Hilfe freuen. Grüße aus Darmstadt :-D)
Vorlesung von Bruinier

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15:07 Uhr, 02.12.2019

Meine Identität bleibt aber gehem :-). Und nicht antworten sost denken die Profis ich hätte schon eine Antwort. ;-)

Viele Grüße

maxsymca

16:31 Uhr, 02.12.2019

Mit a) kann ich nix anfangen, was soll das sein?
Eine 3 periodische b-adische Darstellung

0 . \bar{a_{1} a_{2} a_{3}}

läßt sich z.B. dastellen als

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{1}}{b^{3 k - 2}} + \frac{a_{2}}{b^{3 k - 1}} + \frac{a_{3}}{b^{3 k}}

Vielleicht hilft das weiter...

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16:34 Uhr, 02.12.2019

In meinem Skript steht, dass die Zahlen

z . B :

2 und

1,999999 ... . .

. gleich sind. 2 kann man als eine periode mit nur Nullen nach dem komma auffassen.

Dankeschön erstmal für die erste Antwort

maxsymca

17:26 Uhr, 02.12.2019

Ach so,

dann berechnet mal die Summen eines periodischen Bruches, zur Basis a

0 . \bar{a_{1} a_{2} a_{3}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{1}}{a^{3 k - 2}} + \frac{a_{2}}{a^{3 k - 1}} + \frac{a_{3}}{a^{3 k}} = a^{2} \cdot \frac{a_{1}}{a^{3} - 1} + a \frac{a_{2}}{a^{3} - 1} + \frac{a_{3}}{a^{3} - 1} = \frac{a_{1} a_{2} a_{3}}{a^{3} - 1}

vielleicht etwas allgemeiner aufschreiben?

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21:45 Uhr, 02.12.2019

Ich verstehe nicht wie der letzte Umformunsschritt geht. Ich verstehe auch nicht so ganz was da gezegt wurde. Ich glaube du hast zwei verschiedene Darstellunen für einen Periodischen Bruch gefunden ? Warum ist, die rechte Seite vom Gleichheitszeichen ein periodischer Bruch ?

Blicke noch net ganz durch leider.

maxsymca

22:07 Uhr, 02.12.2019

Lies mal unter geometrische Reihe nach und mach Dir ein Beispiel zu a=10, a1=1,a2=2,a3=3
da kennst Du Dich aus?

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23:28 Uhr, 02.12.2019

So, ich weiß nicht wie ich die geometrische Summenformel anwenden soll, ich zeige mal wie weit ich mit deinem Beispiel komme.

0,123 = = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{10^{3 k - 2}} + \frac{2}{10^{3 k - 1}} + \frac{3}{10^{3 k}} = 10^{2} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{10^{3 k}} + 10 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2}{10^{3 k}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{3}{10^{3 k}}

Keine Ahnung wie ich darauf jetzt die Geometrsche Summenformel anwende. Wenn ich einen Indexshift mache klappt es bei mir nicht und einen Term rausnehmen brngt mir auch nix. Oder muss

k

nicht bei 0 anfangen ?

Sorry wegen dem nicht verstehen von mir

maxsymca

12:34 Uhr, 03.12.2019

k=1 weil die Entwicklung

{\frac{a_{1}}{a} + \frac{a_{2}}{a^{2}} + \frac{a_{3}}{a^{3}} + \frac{a_{1}}{a^{4}} + \frac{a_{2}}{a^{5}} + \frac{a_{3}}{a^{6}} + \frac{a_{1}}{a^{7}} + \frac{a_{2}}{a^{8}} + \frac{a_{3}}{a^{9}} . . .}

darstellen soll.

\sum_{k = 1}^{\infty} a q^{k} = a \frac{q}{1 - q}

\sum_{k = 1}^{\infty} a q^{- 3 k} = \frac{a}{q^{3} - 1}

a=1,2,3 q=10
==>

1 0^{2} \frac{1}{999} + 10 \frac{2}{999} + \frac{3}{999} = \frac{123}{999}

im allgemeinen Fall
==> alle Zahlen mit periodischer b-adischer Bruchentwicklung sind rational, weil als echter Bruch darstellbar (periode/([b-1]Ziffern[Anzahl=längederPeriode])

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17:09 Uhr, 03.12.2019

Hi ich habe die

a)

nun verstanden habe ein Bespiel gelöst und hat auch sehr gut geklappt.
Habe auch verstanden, dass wir oben zwei verschiedene darstellungen von einem

b -

adschen Bruch gefunden haben.

Dankeschön.

Im Grunde haben wir doch dann

i) \Rightarrow

ii) dann schon gezeigt, von der

c)

?

Viele Dank

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17:40 Uhr, 03.12.2019

Allgemein aufgeschrieben wäre dies wohl un so:

0, a_{1} a_{2} ... ... a_{n - 1} a_{n}

mit periodenlänge

n

und Basis

= a

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{1}}{a^{n \cdot k - n - 1}} + \frac{a_{2}}{a^{n \cdot k - q - 2}} + ... ...

\frac{a_{n - 1}}{a^{n \cdot k + 1}} + \frac{a_{n}}{a^{n \cdot k}} = a^{n - 1} \cdot \frac{a_{1}}{a^{n} - 1} + ... ... + 1 \cdot \frac{a_{n}}{a^{n} - 1} = \frac{a_{1} a_{2} ... . . a_{n}}{a^{n} - 1}

Noch eine Frage zur

b)

kann ich einfach zwei b-adishe Brüche mit periode addieren und dann sehe ich, es kommt wieder ein Periodischer

b -

adischer Bruch heraus und fertig ? Also was ich genau meine ich kann die Form von periodischen b-adischen Brüchen welche du mir gezeit hast allgemein herausnehmen und diese für zwei Zahlen

x

und

y

allgemein addieren und sehe weiterhin eine periodische Form. Dies würde doch zeigen, dass wieder ein periodischer b-adischer Bruch rauskommt ?

HAL9000

18:00 Uhr, 03.12.2019

Ich würde zuerst (c) bearbeiten, dann ist (b) eine einfache Folgerung davon.

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18:13 Uhr, 03.12.2019

Hi, hört sich vielleiht doof an, aber habe ih nicht viel von der

c)

schon gezeigt ?

i) \Rightarrow i i)

folt direkt aus der

a)

i i) \Rightarrow i i i)

Folgt direkt aus der Darstllung eines allgemeinen periodischen b-adischen Bruchs als Bruch wie ich schon gezeigt habe ?

i i i) \Rightarrow i)

folgt weil ich die Umformungsschritte von

i i) \Rightarrow i i i)

auch umkehren kann und so eine periodische b-adische Bruch Darstellung habe ?

wäre wohl etwas zu einfach aber verstehe nicht warumes nicht klappen sollte ?

HAL9000

18:20 Uhr, 03.12.2019

i i i) \Rightarrow i)

folgt weil ich die Umformungsschritte von

i i) \Rightarrow i i i)

auch umkehren kann

Ich sehe jetzt nicht, dass du diese Umkehrung schon hast:

Aus deinen periodischen Brüchen entstehen rationale Zahlen der Form

\frac{c}{b^{n} - 1}

o.ä. Inwiefern reicht das bereits aus, dass ALLE rationalen Zahlen

\frac{p}{q}

umgekehrt auch eine periodische Darstellung besitzen?

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18:27 Uhr, 03.12.2019

Ach mist du hast Recht :-). Hast du da vielleicht einen Tipp wie ich da ran gehen soll?
Die anderen implikationen passen aber ?

Im Grunde habe ich schon mehr von der Aufgabe verstanden als ich erwartet habe ;-).

HAL9000

18:37 Uhr, 03.12.2019

Ja,

(c) (i i i) \to (i)

ist die wirkliche Härte hier... Man könnte mit viel Zahlentheorie rangehen, es geht aber auch so:

Sei

x

eine positive rationale Zahl. Damit gibt es positive ganze Zahlen

p, q

mit

x = \frac{p}{q}

. Dazu betrachten wir die Reste

b^{n} mod q

für

n = 0, 1, 2, \dots, q

, nach Schubfachprinzip sind mindestens zwei dieser Reste gleich, z.B. die für die Indizes

r < s

. Damit gibt es ein

t

mit

b^{s} - b^{r} = q t

, und es folgt mit

m := s - r

dann

x = \frac{p t}{b^{s} - b^{r}} = \frac{1}{b^{r}} \cdot \frac{p t}{b^{m} - 1}

Von letzterem Bruch trennen wir den Ganzanteil ab, d.h.

\frac{p t}{b^{m} - 1} = u + \frac{v}{b^{m} - 1}

mit

0 \leq v < b^{m} - 1

. Es geht dann weiter mit

b^{r} x = u + \sum_{k = 1}^{\infty} v \cdot b^{- k m}

Dieser Darstellung sieht man nun die Periodizität bereits an: Vor dem Komma steht die Zahl

u

, und nach dem Komma die Periode

v

der Länge

m

(dabei wird eine Zahl

v

mit weniger als

m

Stellen vorn mit Nullen aufgefüllt).

Und abschließend hat

x

dieselbe Zifferndarstellung wie

b^{r} x

, nur ist das Komma um

r

Stellen verschoben.

ermanus aktiv_icon

18:44 Uhr, 03.12.2019

Hallo,
vielleicht stehe ich ja nun mal auf dem berüchtigten Schlauch.
Ich verstehe nicht, inwiefern a) gelöst wurde ???
Gruß ermanus

JaBaa aktiv_icon

18:53 Uhr, 03.12.2019

Hmmm, jetzt schalten sich hier alle ein :-). So wie ich es verstanden hatte, habe ich eine rationale Zahl bekommen, diese ist doch nach Definition periodisch auch wenn der Bruchauf geht. Anders kann ich es mir auch nicht erklären. Desween dachte ich auch es würde

i i i) \Rightarrow i i)

sofort gehen. Vielleicht habe ich auch doch nicht so viel verstanden.

JaBaa aktiv_icon

18:58 Uhr, 03.12.2019

An Hal9000

Dies werde ich niemals aufschreiben, weil ich niemals drauf gekommen wäre :-).

Dankeschön an alle nochmal

HAL9000

19:02 Uhr, 03.12.2019

> eine rationale Zahl bekommen, diese ist doch nach Definition periodisch

Wenn das deine Definition einer rationalen Zahl ist, dann hätte ich mir meinen Beitrag oben tatsächlich sparen können. :-)

Ich kenne diese Definition jedenfalls anders (nämlich als Quotient zweier ganzer Zahlen).

> Dies werde ich niemals aufschreiben, weil ich niemals drauf gekommen wäre

Dein Problem. Wenn du damit denkst mich zu motivieren, was "einfacheres" zu finden, was auch Leute nachvollziehen können, die ihr Gehirn nicht einschalten wollen: Mit sowas kann ich nicht dienen.

JaBaa aktiv_icon

19:14 Uhr, 03.12.2019

Dankeschön, erstmal für deine Antwort. Nein du verstehst mich falsch. Ich gucke mir gerne auch mal Beweise an auf welche ich glaube noch nicht kommen zu können.( Damit ist auch deiner gemeint). Und ich studiere Mathematik, bin aber kein Genie. Ich tue nix anderes als den ganzen Tag über Themen nachzudenken die ich als sehr schwierig empfinde.Also probiere ich mein Gehirn wann immer möglich einzuschalten. Auch will ich dich nicht "motivieren" etwas einfacheres zu finden.(weiß nicht wie du darauf kommst). Ich meinte damit nur, dass ich nicht gerne Beweise aufschreibe wo mein Gefühl mir sagt ich wäre die nächsten 7 Tage nachdnken nicht drauf gekommen, deswegen werde ich deinen Beweis nicht auf mein Übunsblatt schreien, weil ich mich damit unwohl gefühlt hätte. Ist aber auch nicht so schlimm, weil ich keine Probleme mit den Punkten habe. Also in diesem Sinne dankeschön für deine Hilfe, ich werde wohl geleentlich noch Fragen stellen. Vielleicht hilft mir ja nochmal jemand von euch.

Viele Grüße

HAL9000

19:53 Uhr, 03.12.2019

Dabei war das noch einer der einfacheren Beweise dieser Behauptung, weil er gänzlich ohne Zahlentheorie auskommt. Man hätte auch so rangehen können:

q

wird zerlegt via

q = v w

, wobei

v

alle die Primfaktoren von

q

vereint, welche auch in

b

enthalten sind, der "Rest" bildet dann

w

. Dann gibt es ein

r

groß genug, dass

v ∣ b^{r}

, und es folgt dann

b^{r} x = \frac{b^{r}}{v} p \cdot \frac{1}{w}

.

Nun sind nach dieser Konstruktion

w

und

b

teilerfremd, demzufolge gilt mit

m := φ (w)

gemäß Euler-Fermat dann

b^{m} \equiv 1 mod w

, es gibt somit ein

t

mit

w t = b^{m} - 1

, und es ist

b^{r} x = \frac{b^{r}}{v} p \cdot \frac{t}{b^{m} - 1}

.

Der Rest geht so ähnlich weiter wie oben.

------------------------------

Ist das einfacher? Eher nicht, dafür informativer hinsichtlich der Periodenlänge

m

JaBaa aktiv_icon

21:34 Uhr, 03.12.2019

Hi nochmal,

ja Dankeschön nochmal. Ich schaue es mir nochmal genau an.

Danke für die Mühe wirklich nett von dir noch eine andere Art es zu Beweisen aufzuschreiben :-). Ich muss meine Übung heute Abend sowieso nochmal aufschreiben. Dabei werde ich mir alles nochmal genau angucken und ich merke mir meine gestellten Fragen im Forum sowieso, deshalb werde ich früher oder später alle Sachen, welche ich nicht verstanden habe nochmal durchgehen und dann kommen vll ja nochmal Fragen an euch ;-). Also früher oder später werde ich mir die Sachen nochmal angucken und es ist ja auch kein Hexenwerk, weil am Ende dachte ich bis jetzt immer ist doch gar nicht so schwer, wie ich anfangs dachte.

Viele Grüße

JaBaa aktiv_icon

21:44 Uhr, 03.12.2019

Ach und noch was, wegen der

a)

. Ich habe nun eine etwas bessere Variante um die

a)

zu zeigen (immer noch keine gute denke ich). Also ich glaube man hat nur mehrere Möglichkeiten eine Zahl

x

darzustellen, wenn man am Ende eine Periode 9 am Ende dieser Zahl hat(mir fällt keine andere ein wenn doch korrigiert mich bitte). Also zeige ich für alle Zahlen mit Periode 9 am Ende die andere Darstellung. Da diese Aufgabe etwas sanfter von den Übungsleitern bewertet wird, hoffe ich einfach mal auf ein paar Punkte ;-).

HAL9000

15:22 Uhr, 04.12.2019

Im Bemühen um einen wirklich exakten Beweis würde ich bei (a) so rangehen:

Seien

\sum_{k = k_{0}}^{\infty} u_{k} b^{- k}

bzw.

\sum_{k = k_{0}}^{\infty} v_{k} b^{- k}

zwei unterschiedliche

b

-adische Bruchentwicklungen mit den Werten

u

bzw.

v

(dabei wird Startindex

k_{0}

klein genug gewählt, um beide Zahlen erfassen zu können, ggfs. auch negativ für die Ziffern VOR dem Komma).

Dabei möge

k_{1}

der kleinste Index sein, an dem sich diese Entwicklungen unterscheiden, o.B.d.A. sei dabei

u_{k_{1}} < v_{k_{1}}

. Im Sinne dieser Definition ist dann

u_{k} = v_{k}

für alle

k

mit

k_{0} \leq k < k_{1}

. Wir wollen im folgenden untersuchen, unter welchen Bedingungen dennoch

u = v

eintreten kann.

Unter all den vorgenannten Voraussetzungen gilt

v - u = (v_{k_{1}} - u_{k_{1}}) b^{- k_{1}} - \sum_{k = k_{1} + 1}^{\infty} (u_{k} - v_{k}) b^{- k} \geq b^{- k_{1}} - \sum_{k = k_{1} + 1}^{\infty} (b - 1 - 0) b^{- k} = b^{- k_{1}} - (b - 1) \frac{b^{- k_{1} - 1}}{1 - b^{- 1}} = 0

wobei gemäß dieser Zeile Gleichheit DANN UND NUR DANN auftreten kann, wenn

v_{k_{1}} = u_{k_{1}} + 1

sowie

v_{k_{1} + 1} = v_{k_{1} + 2} = \dots = 0

und

u_{k_{1} + 1} = u_{k_{1} + 2} = \dots = b - 1

gilt. Das ist die Situation "endlicher"

b

-adischer Bruchentwicklungen, das kennt man von Dezimalbrüchen: Endliche Dezimalbruchentwicklungen (d.h. mit Nullenperiode am Ende) kann man genausogut darstellen mit einer Neunerperiode am Ende, wobei die letzte Ziffer vor der Periode um eins kleiner ist als die letzte Ziffer vor der Nullenperiode.

ermanus aktiv_icon

23:19 Uhr, 04.12.2019

@HAL9000: vielen Dank! So hatte ich mir eine Bearbeitung von a) auch
zumindest ansatzweise vorgestellt :-)
Gruß ermanus

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