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bedingte Wahrscheinlichkeit 5-faches würfeln

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsmaß, Würfelwurf

Superschnitzel aktiv_icon

18:37 Uhr, 31.08.2020

Hallo alle Zusammen,

Ich hätte hier eine Frage zu einer Aufgabe aus einer Altklausur bei der es um Wahrscheinlichkeitsräume und bedingte Wahrscheinlichkeiten geht.
Die Aufgabe ist im Bildanhang.
Aufgabenteil a) und b) sind ja relativ schnell und einfach zu lösen, ich habe aber im Moment meine schwierigkeiten Teil c) zu verstehen.

a)

Ω = {(ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, ω_{4}, ω_{5}) ∣ ω_{i} \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

∣ Ω ∣ = 6^{5} = 7776

ℙ (ω) = \frac{1}{7776}

b) eine große straße entseht genau dann, wenn entweder die zahlen 1-5 oder die Zahlen 2-6 jeweils genau einmal gewürfelt werden:

G = {

"genau die zahlen 1,2,3,4,5 oder genau die Zahlen 2,3,4,5,6 gewürfelt"

}

∣ G ∣ = 2 \cdot 5! = 240

ℙ (G) = \frac{240}{7776}

Bei aufgabenteil c) Frage ich mich wie man jetzt das beschriebene Ereigniss verfasst. Ist es für die bedingte Wahrscheinlichkeit wichtig, dass es eine 1 und vier 2er sind oder geht es nur darum, dass die Zahlen 1 und 2 bereits vorhanden sind?
dann wäre die Wahrscheinlichkeit für ein Ereigniss:

H = {

"es gibt mindestens eine 1 und mindestens eine 2

}

ℙ (H) = \frac{1}{36}

Und der Schnitt

G \cap H

sind dann ja gerade die Großen straßen der Form

1, 2, 3, 4, 5

also

ℙ (G \cap H) = \frac{120}{7776}

dann gilt für die Bedingte Wahrscheinlichkeit:

ℙ (G ∣ H) = \frac{ℙ (G \cap H)}{ℙ (H)} = \frac{\frac{120}{7776}}{\frac{1}{36}} = \frac{1440}{2593}

Aber kann das so stimmen? Sollte das nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit sein wie die bei drei würfen 3,4,5 zu Würfeln (

\frac{1}{36}

) ?

Wenn mir jemand sagen könnte wo ich hier etwas Falsch mache würde ich mich sehr Freuen, jegliches input ist willkommen.

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführung
Bedingte Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten

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19:11 Uhr, 31.08.2020

H

ist doch: genau eine Eins und 4 Zweien

(1

. Wurf)

G

ist

{3,4,5}

(2.Wurf)

N8eule

19:47 Uhr, 31.08.2020

Hallo
Darf ich meinen Gedankengang anbieten.
zu

c)

Sind wir uns einig?: Wenn du 1 und 2 schon auf dem Tisch liegen hast, dann brauchst du zur großen Straße noch genau die Zahlen

3; 4; 5

>

Gedanklich mag ich mir vorstellen, der erste Würfel kullert aus dem Würfelbecher.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau eine dieser Zahlen zeigt?

>

Jetzt hast du schon 3 Zahlen zur großen Straße.
Wie viele Zahlen zur großen Straße musst du dann noch treffen?

>

Jetzt kullert der zweite Würfel aus dem Würfelbecher.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau eine dieser noch fehlenden Zahlen zeigt?

>

Jetzt hast du schon 4 Zahlen zur großen Straße.
Wie viele Zahlen zur großen Straße musst du dann noch treffen?

>

Jetzt kullert der dritte Würfel aus dem Würfelbecher.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau eine dieser noch fehlenden Zahlen zeigt?

N8eule

19:52 Uhr, 31.08.2020

"Wenn mir jemand sagen könnte(,) wo ich hier etwas falsch mache..."

Na ja, ob falsch - das weiß ich nicht so recht - weil ich deinen Gedankengang nicht recht verstehe.
Du scheinst in "H" irgendwie noch eine Wahrscheinlichkeit für die ersten beiden Würfel verwursten zu wollen, und anschließend mit bedingter Wahrscheinlichkeit arbeiten zu wollen.
Wozu?
Die ersten beiden Würfel liegen doch fest.
Wir wissen, dass die die Zahlen 1 und 2 zeigen.
Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist:

p = 1

Und für mein Verständnis ist bedingte Wahrscheinlichkeit hier fehl am Platz.

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19:58 Uhr, 31.08.2020

@NBeule:
Die Bedingung ist doch, dass im 1. Wurf 1-mal 1 und 4-mal 2 erscheint.
Sonst wäre es

m . E

. zu banal.

Roman-22

20:18 Uhr, 31.08.2020

Wie kommst du auf

P (H) = \frac{1}{36}

?

Du hast das Ereignis

H

offenbar zweimal unterschiedlich definiert:

1)

Wenn du schreibst

P (H) = \frac{1}{36},

dann ist

H

das Ereignis, dass zB genau der erste Wurf eine 1 und der zweite eine 2 ist

2)

Bei

P (G \cap H) = \frac{5!}{6^{5}}

bedeutet

H

aber, dass unter 5 Würfeln irgendwo eine 1 und irgendwo eine 2 zu finden ist.

Bei der zweiten Interpretation müsstest du dir

P (H)

neu überlegen. Das Prozedere entspricht dann aber Folgendem: Jemand wirft mit fünf Würfeln und verrät dir, dass er (mind.) eine 1 und eine 2 sieht. Du sollst nun die WKT bestimmen, dass er die Straße

1 - 2 - 3 - 4 - 5 (\in

beliebiger Reihenfolge) gewürfelt hat. Diese WKT wäre

\frac{4}{85}

.
Aber dieses Prozedere entspricht denke ich nicht der in der Angabe geschilderten Versuchsanordnung. Das siehst du am besten ein, wenn du dir die Würfel unterscheidbar, zB in verschiedenen Farben oder durchnummeriert (wie die 5-tupel deines Wahrscheinlichkeitsraumes), vorstellst.

HAL9000

08:36 Uhr, 01.09.2020

Man kann das Gesamtexperiment mit 5+3=8 Würfen nicht in dem eingeengten Grundraum

{1, 2, 3, 4, 5, 6}^{5}

modellieren, der ist an sich nur für EINEN Wurf mit 5 Würfeln geeignet, nicht für mehrere!!!

Insofern ist die in Aufgabenstellung c) formulierte Forderung "Führen Sie die Rechnung auf dem von Aufgabenstellung a) zugrunde liegenden Grundraum formal durch" schon mal grundlegend vergurkt. Man braucht zwingend einen "größeren" Grundraum.

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