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bedingte Wahrscheinlichkeit bei Bernoulli-Kette

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung, Verteilungsfunktion

Mo007 aktiv_icon

21:52 Uhr, 28.11.2014

Guten Abend allerseits,

also ich sitze gerade an einer Übungsaufgabe, bei der ich einfach nicht weiter komme. Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. :-) Hier erstmal die Aufgabe:

In einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Erfolgswahrscheinlichkeit p,

0 \leq p \leq 1

betrachten wir die Ereignisse A - genau ein Erfolg und

B_{k}

- Erfolg im k-ten, k=1,2,...,n, Versuch.

a.) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von

B_{k}

für k=1,...,n unter der Bedingung A?

b.) Ist das Ergebnis plausibel? Begründen Sie Ihre Antwort.

Also, die bedingte Wahrscheinlichkeit haben wir allgemein wie folgt definiert:

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Und in der Aufgabe ist ja dann gesucht:

P (B_{k} ∣ A) = \frac{P (B_{k} \cap A)}{P (A)}

.

Die Bernoulli-Formel hatten wir natürlich auch schon:

B_{n, p} = P (X = k) = (\binom{n}{k}) * p^{k} * (1 - p)^{n - k}

und wenn ich das Ereignis A betrachte, ist ja P(A)=P(X=1), also:

P (A) = (\binom{n}{1}) * p^{1} * (1 - p)^{n - 1} = n * p * (1 - p)^{n - 1}

So weit so gut.

Jetzt fehlt noch

P (B_{k} \cap A)

. Das hieße doch in Worten: "Die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Erfolg eintritt und zwar im k-ten Versuch". Aber ich weiß jetzt nicht so recht, wie ich die berechnen soll. Vielleicht über das Gegenereignis? Ich meine, kann ich nicht sagen, dass es dasselbe ist, als wenn in den k-1 Versuchen vorher kein Erfolg eintritt? Dann würde die Formel ja so aussehen:

P (B_{k} \cap A) = (\binom{k - 1}{0}) * p^{0} * (1 - p)^{k - 1 - 0} = 1 * 1 * (1 - p)^{k - 1} = (1 - p)^{k - 1}

Aber kann ich das wirklich so machen? Ich würde mich über jeden Tipp eurerseits freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführung
Bedingte Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten
Bernoulli-Experimente

Matlog aktiv_icon

22:43 Uhr, 28.11.2014

"Jetzt fehlt noch

P (B_{k} \cap A)

. Das hieße doch in Worten: "Die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Erfolg eintritt und zwar im k-ten Versuch"."

Das ist vollkommen richtig!
Allerdings die Formel zur Berechnung von

P (B_{k} \cap A)

ist unvollständig:
Nach

k - 1

Nieten muss im k-ten Versuch ein Treffer folgen und die restlichen Versuche sind wieder alles Nieten.

Mo007 aktiv_icon

22:48 Uhr, 28.11.2014

Hallo Matlog,

ok, ich verstehe was du meinst. Müsste ich dann über die Bernoulli-Formel berechnen:

"kein Erfolg in den ersten k-1 Versuchen" + "1 Erfolg in 1 Versuch" + "kein Erfolg in den letzten n-k Versuchen"? (Ich hoffe, du verstehst meine Schreibweise ;-) )

Matlog aktiv_icon

22:50 Uhr, 28.11.2014

Im Prinzip richtig, allerdings die "+"-Zeichen irritieren mich.

Mo007 aktiv_icon

22:52 Uhr, 28.11.2014

Na, ich dachte jetzt, ich rechnen diese Wahrscheinlichkeiten einzelnen aus und addiere sie?

Aber wenn du schon so fragst, ist das wohl eher nicht richtig. :-(

Edit: Nee, ich muss die natürlich multiplizieren. Also gucke ich mir schon insgesamt die n Versuche an aber splitte die Bernoulli-Formel entsprechend auf, richtig?

Matlog aktiv_icon

22:57 Uhr, 28.11.2014

Selbstverständlich müssen die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden. (Genau wie in den verschiedenen Stufen eines Baumdiagramms.)

Mo007 aktiv_icon

22:59 Uhr, 28.11.2014

Ja natürlich, tut mir leid. Da war ich wohl gerade etwas verquer im Kopf. Also ich versuch das gleich mal in Formeln zu schreiben.

Mo007 aktiv_icon

23:11 Uhr, 28.11.2014

P (B_{k} \cap A) = [(\binom{k - 1}{0}) * p^{0} * (1 - p)^{k - 1 - 0}] * [(\binom{1}{1}) * p^{1} * (1 - p)^{1 - 1}] * [(\binom{n - k}{0}) * p^{0} * (1 - p)^{n - k - 0}]

= [1 * 1 * (1 - p)^{k - 1}] * [1 * p * 1] * [1 * 1 * (1 - p)^{n - k}]

= (1 - p)^{k - 1} * p * (1 - p)^{n - k}

= (1 - p)^{(k - 1) + (n - k)} * p

= (1 - p)^{n - 1} * p

Ist das so richtig?

Matlog aktiv_icon

23:14 Uhr, 28.11.2014

Vollkommen richtig!

Mo007 aktiv_icon

23:19 Uhr, 28.11.2014

:-D) Und insgesamt würde sich dann ergeben:

P (B_{k} ∣ A) = \frac{P (B_{k} \cap A)}{P (A)} = \frac{(1 - p)^{n - 1} * p}{n * p * (1 - p)^{n - 1}} = \frac{1}{n}

Matlog aktiv_icon

23:20 Uhr, 28.11.2014

Sehr gut!

Mo007 aktiv_icon

23:26 Uhr, 28.11.2014

Ok, das wäre dann ja jetzt schon mal die Lösung zu a.) aber so richtig weiß ich jetzt nicht, was ich zu b.) schreiben soll.

Also irgendwie ist es ja logisch. Wenn es insgesamt nur einen Erfolg gibt bei n Versuchen, dann gibt es auch nur eine Möglichkeit dafür, dass eben genau bei dem k-ten Versuch ein Erfolg eintritt.

Matlog aktiv_icon

23:30 Uhr, 28.11.2014

Ja, die Begründung ist gut.
Ich würde noch ergänzen, dass jeder der

n

Versuche die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, der einzige Treffer zu sein.
Deshalb alles plausibel.

Mo007 aktiv_icon

23:39 Uhr, 28.11.2014

Irgendwie sieht das doch nach Laplace-Wahrscheinlichkeit aus, also

P (B_{k} ∣ A) = \frac{A n z a h l d e r g ü n s t i g e n F ä l l e}{A n z a h l d e r m ö g l i c h e n F ä l l e} = \frac{1}{n}

,

weil man hat ja genau einen Erfolg und n mögliche Einzelexperimente, wo dieser eine Erfolg auftreten könnte.

Matlog aktiv_icon

23:42 Uhr, 28.11.2014

Ja, Laplace wegen gleicher Wahrscheinlichkeit für alle

n

Versuche.

Mo007 aktiv_icon

23:45 Uhr, 28.11.2014

Supi, vielen Dank für deine Hilfe!

Könntest du mir vielleicht noch bei meiner anderen offenen Frage helfen? Da geht es um einen Multiple-Choice-Test und ich hab mich da wohl auch irgendwo verrechnet. :-(

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