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beispiele für ringe

Universität / Fachhochschule

Tags: euklidischer Ring, Hauptidealring, integritätsring

freed aktiv_icon

18:30 Uhr, 09.07.2010

hey!

integritätsring, euklidischer ring, hauptidealring, faktorieller integritätsring. mit den ringen kann ich noch nicht so viel anfangen.

kann mir jemand mal bitte ein beispiele für folgende sachen geben:
in der vorlesung hatte ich folgende ringe:

- ein hauptidealring, der kein euklidischer ring ist
- ein euklidischer ring der kein integritätsring ist
- ein integritätsring der nicht faktoriel ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

10:00 Uhr, 10.07.2010

1. ist gar nicht so einfach,

ℤ [\frac{1 + \sqrt{- 19}}{2}]

laut de.wikipedia.org/wiki/Theodore_Motzkin
2. Jeder euklidiche Ring ist per Definition ein Integritätsbereich
3.

ℤ [\sqrt{- 5}]]

oder der Ring der holomorphen Funktinen auf einem Gebiet

freed aktiv_icon

14:31 Uhr, 11.07.2010

ok, danke.
ich habe jetzt folgendes herausgefunden:
es gilt doch:
euklidischer ring

\Rightarrow

hauptidealring

\Rightarrow

faktorieller ring

\Rightarrow

Integritätsring

als beispiel für einen hauptidealring der kein euklidischer ring ist hattest du:

ℤ [\frac{1 + \sqrt{- 19}}{2}]

. Was geht dadran schief, wieso ist das kein euklidischer ring?

was für ein faktorieller ring ist denn kein hauptidealring?

ℤ [T]

soll faktoriel aber kein hauptidealring sein. wieso nicht? wann sind die ideale keine hauptideale??

was für ein integritätsring ist kein faktorieller ring?
da habe ich

ℤ [i \sqrt{5}] = {a + b \cdot i \sqrt{5} | a, b \in ℤ}

das 3. Beispiel

ℤ [\sqrt{- 5}]

verstehe ich nicht so ganz, wie sieht der ring aus?

wofür brauch man eigentlich diese ringe in der lineare algebra II?

hagman aktiv_icon

16:52 Uhr, 11.07.2010

ℤ [T]

ist kein Hauptidealring, denn das von 2 und

T

erzeugte Ideal ist kein Hauptideal: Damit 2 ein Vielfaches des einzigen Erzeugers ist, muss dieser ein Polynom vom Grad 0 sein, also eine ganze Zahl. Da das Ideal keine ungeraden Zaheln enthält, müsste der Erzeuger also eine gerade Zahgl sein. Aber dann ist

T

kein Vielfaches davon.

- -

ℤ [\sqrt{- 5}] \approx ℤ [i \sqrt{5}] \approx ℤ [T] / (T^{2} + 5)

- -

Warum ist

R := ℤ [\frac{1 + \sqrt{- 19}}{2}]

nicht euklidisch?
Angenommen

R

ist doch euklidisch.
Sei

g : R \ {0} \to ℕ_{0}

ein euklidischer Betrag,

d . h

. zu

x, y \in R

mit

y \neq 0

existieren

q, r \in R

mit

x = q y + r,

so dass entweder

r = 0

oder

g (r) < g (y)

.

Setze

u = \frac{1 + \sqrt{- 19}}{2}

. Dann gilt

u^{2} = - 5 + u

und es ist

R = {a + b u | a, b \in ℤ}

.

Wir haben auf

R

die durch

| | a + b u | | = a^{2} + a b + 5 b^{2}

gegebene Norm

R \to ℕ_{0}

(die nicht mit dem euklidischen Betrag zu verwechseln ist, da eine Norm ganz andere Eigenschaften erfüllt!).
Diese Norm ist einfach durch das Quadrat des Betrages der komplexen Zahl

a + b u

gegeben.

Insbesondere gilt

| | x | | \cdot | | y | | = | | x y | |

.

Sei jetzt

y \in R \ {0,1, - 1}

ein Element minimalen euklidischen Betrages.
Entweder ist

y = a + 0 \cdot u \in ℤ

und folglich

| | y | | = a^{2} \geq 4

(denn

a \notin {- 1,0,1})

.
Oder es ist

y = a + b \cdot u

mit

b \neq 0,

folglich

| | y | | = a^{2} + a b + 5 b^{2} = {(a + \frac{b}{2})}^{2} + \frac{19}{4} b^{2} \geq \frac{19}{4} > 4

. Auf jeden Fall also

| | y | | \geq 4

.

Ist jetzt

x \in R

beliebig, dann folgt per Division mit Rest

x = q y + r

für geeignete

q, r \in R

. Dann gilt

r \in {- 1,0,1},

denn sonst wäre ja

g (r) \geq g (y)

im Widerspruch zur Wahl von

y

.
Es ist also eine der Zahlen

x - 1, x, x + 1

ein Vielfaches von

y

.

Mit

x = 2

folgt: Eine der Zahlen

1, 2, 3

ist Vielfaches von

y

.
Insbesondere ist

| | y | |

ein Teiler von

| | 1 | | = 1

oder von

| | 2 | | = 4

oder von

| | 3 | | = 9

.
Wegen

| | y | | \geq 4

folgt

| | y | | \in {4,9}

.
Mit

x = u

folgt: Eine der Zahlen

u - 1, u, u + 1

ist Vielfaches von

y

.
Insbesondere ist

| | y | |

ein Teiler von

| | u - 1 | | = 5

oder von

| | u | | = 5

oder von

| | u + 1 | | = 7

.
Wegen

| | y | | \geq 4

folgt

| | y | | \in {5,7}

.

Wegen

{4,9} \cap {5,7} = \emptyset

ergibt sich ein Widerspruch.

Somit ist

R

nicht euklidisch.

hagman aktiv_icon

18:19 Uhr, 11.07.2010

Spannender ist vielleicht die Frage: Wieso ist

R := ℤ [\frac{1 + \sqrt{- 19}}{2}]

ein Hauptidealring?

Sei I

\subset R

ein Ideal.
Falls I=0, sind wir fertig. Sei daher

x \in I \ {0}

ein Element minimaler Norm.
Fall I

= x R

sind wir fertig. Sei daher

y \in I \ x R

ein Element minimaler Norm.
Sei

z = a + b i

mit

a, b \in ℝ

die komplexe Zahl

\frac{y}{x}

.
ObdA gilt

b \geq 0,

denn ansonsten könnte man unbeschadet

y

durch

- y

ersetzen.
Dann gilt:

| z - 1 | \geq | z |, d . h

a \geq - \frac{1}{2}

wegen Minimalität von

y (| | y - x | | \geq | | y | |)

| z + 1 | \geq | z |, d . h

a \leq - \frac{1}{2}

ebenso.
Geometisch sind dies Bedingungen, dass

z

in einem gewissen Streifen der Breite 1 liegt.

| z - \frac{1 + i \sqrt{19}}{2} | \geq | z |

und

| z + \frac{1 + i \sqrt{19}}{2} | \geq | z |

liefern wiederum eine "Streifenbedingung", diesmal mit einem Streifen der Breite

\sqrt{5},

der um ca. 77° gegenüber der Vertikalen gedreht ist.

| z - \frac{1 + i \sqrt{19}}{2} | \geq | z |

und

| z + \frac{1 + i \sqrt{19}}{2} | \geq | z |

liefern einen ebensolchen Streifen, der aber in die Gegenrichtung gedreht ist.
Zusammen schränken diese Bedingungen

z

auf eine Sechseckfläche ein.
Wegen

b \geq 0

interessiert hiervon ohnehin nur die Hälfte oberhalb der reellen Achse.

Weiter gilt:

| z | \geq 1

wegen Minimalität von

| | x | |, d . h

z

liegt außerhalb der Einheitskreisscheibe. Diese Bedingung beseitigt bereits einen Großteil der 6eckfläche.

| 2 z - \frac{1 + i \sqrt{19}}{2} | \geq 1

wegen

| | 2 y - u x | | \geq | | x | |, d . h z

liegt außerhalb einer gewissen Kreisscheibe vom Radius

\frac{1}{2}

.
Ebenso

| 2 z - \frac{- 1 + i \sqrt{19}}{2} | \geq 1,

was einer weiteren Kreisscheibe vom Radius

\frac{1}{2}

entspricht.

Wenn man dies zeichnet, erkennt man direkt, dass die Kreisscheiben die (Hälfte der) 6eckfläche komplett überdecken. Es gibt also keinen zulässigen Wert für

z, d . h

I

muss Hauptideal sein.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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