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cos(pi/3) berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: cos, sin berechnen

dwoni aktiv_icon

09:23 Uhr, 10.12.2015

Hallo,

ich soll

cos (\frac{π}{3})

und

sin (\frac{π}{3}),

sowie

cos (\frac{π}{4})

und

sin (\frac{π}{4})

berechnen.

Als Hinweis haben wir

{(e^{i \cdot \frac{π}{n}})}^{n} = {(cos (\frac{π}{n}) + i \cdot sin (\frac{π}{n}))}^{n} = - 1

bekommen.

Durch Ausmultiplizieren bin ich für

cos (\frac{π}{3})

und

sin (\frac{π}{3})

bis:

- 1 = {cos}^{3} (\frac{π}{3}) - 3 \cdot cos (\frac{π}{3}) \cdot {sin}^{2} (\frac{π}{3})

und

0 = 3 \cdot {cos}^{2} (\frac{π}{3}) \cdot sin (\frac{π}{3}) - {sin}^{3} (\frac{π}{3})

gekommen. Danach habe ich

{cos}^{2} (x) + {sin}^{2} (x) = 1

genutzt und kam für die erste Gleichung auf:

- 1 = {cos}^{3} (\frac{π}{3}) - 3 \cdot cos (\frac{π}{3}) \cdot (1 - {cos}^{2} (\frac{π}{3}))

.

Und dann kam ich nicht weiter. Ich kenne mich mit derartigen Gleichungen nicht wirklich aus. Vielleicht hat ja jemand nen Tipp für mich :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:29 Uhr, 10.12.2015

Es gilt

(\cos (x) + i \sin (x))^{n} = \cos (n x) + i \sin (n x)

für alle

n

dwoni aktiv_icon

09:35 Uhr, 10.12.2015

Hm...okay, das sagt mir leider noch nicht viel. Hättest du es also anders versucht?

DrBoogie aktiv_icon

09:45 Uhr, 10.12.2015

Ich zeige Dir, wie es gemacht werden muss.
Natürlich kannst Du auch versuchen, die Gleichung dritten Grades zu lösen, wenn es Dir danach ist. :-)

Weißt Du, warum

(\cos (x) + i \sin (x))^{n} = \cos (n x) + i \sin (n x)

?
Weil

(e^{i x})^{n} = e^{i n x}

. :-)

Bummerang

09:52 Uhr, 10.12.2015

Hallo,

sei

a := cos (\frac{π}{3})

und

b := sin (\frac{π}{3})

. Dann sucht man a und

b,

für die gilt:

{(a + b \cdot i)}^{3} = - 1

(a^{3} - 3 \cdot a \cdot b^{2}) + (3 \cdot a^{2} \cdot b - b^{3}) \cdot i = - 1

Koeffizientenvergleich:

a^{3} - 3 \cdot a \cdot b^{2} = - 1

und

3 \cdot a^{2} \cdot b - b^{3} = 0

Machen wir zunächst mit der zweiten Gleichung weiter:

3 \cdot a^{2} \cdot b = b^{3}

Sicher ist

sin (\frac{π}{3})

ungleich Null, denn die Nullstellen der Sinusfunktion kennen wir als ganzzahlige Vielfache von

π

. Also darf man in der zweiten Gleichung durch

b

dividieren:

3 \cdot a^{2} = b^{2}

Das setzen wir in die erste Gleichung ein:

a^{3} - 3 \cdot a \cdot (3 \cdot a^{2}) = - 1

a^{3} - 9 \cdot a^{3} = - 1

- 8 \cdot a^{3} = - 1

a^{3} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^{3}} = {(\frac{1}{2})}^{3}

a = \frac{1}{2}

Da benutzt man zur Berechnung von

b :

b^{2} = 3 \cdot a^{2} = 3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3})}^{2}

Mit dem Wissen, dass

cos x

für

0 \leq x < \frac{π}{2}

positiv ist und

0 < \frac{π}{3} < \frac{π}{2}

gilt, ist

b

eindeutig bestimmbar:

b = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}

Analog geht man für

\frac{π}{4}

vor, das probierst Du nun mal selber!

dwoni aktiv_icon

09:58 Uhr, 10.12.2015

Wow, vielen vielen Dank für die Antworten, ihr beiden. Richtig toll :-) Setze mich sofort ran und mache das mit

\frac{π}{4}

:-)

dwoni aktiv_icon

09:59 Uhr, 10.12.2015

Haha...mein PC spinnt grad irgendwie :-D)

DerDepp aktiv_icon

15:55 Uhr, 10.12.2015

Hossa :-)

Muss man den Hinweis benutzen oder kann man das auch schnell geometrisch berechnen?

1) Gleichseitiges Dreieck, Seitenlänge 1, alle Winkel 60° (

π / 3

)
2) Entlang der Symmetrieachse falten =>
3) Rechtwinliges Dreieck, Hypothenuse 1, Ankathete 0.5, Gegenkathete

\sqrt{3} / 2

(Pythagoras)
4) Ablesen:

\cos (60 °) = 0.5

und

\sin (60 °) = \sqrt{3} / 2

.

Und weiter:

1) Quadrat, Steinlänge 1
2) Entlang einer Diagonale falten =>
3) Rechwinkliges Dreieck, Katheten 1, Hypothenuse

\sqrt{2}

(Pythagoras)
4) Ablesen:

\cos (45 °) = \sin (45 °) = 1 / \sqrt{2}

dwoni aktiv_icon

16:23 Uhr, 10.12.2015

Also ich muss wohl den Hinweis nutzen bzw. ich mach das lieber, bevor man mir Punkte abzieht :-D)

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