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de Morgansche Regel (Mengensystem)

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengenlehre, Mengentheoretische Topologie, morgan

floh2209 aktiv_icon

17:45 Uhr, 23.04.2015

Hallihallo liebe Matheexperten, ich beschäftige mich jetzt schon recht lange mit der Aufgabe komme aber leider nicht dahinter.

Die Aufgabe ist es die de Morgan'sche Regeln zu beweisen: Ich füge die Aufgabe fix als Bild an.
Mir ist auch noch nicht so ganz klar was dieses

⋃

bzw

⋂

so genau bedeutet. Vereinigung und Schnitt an sich kenne ich jedoch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Bummerang

20:55 Uhr, 23.04.2015

Hallo,

diese Beweise laufen doch immer gleich ab:

\subseteq :

Sei

x \in {(⋃_{M \in M^{⋆}} M)}^{C},

dann gilt:

x \notin (⋃_{M \in M^{⋆}} M)

. Damit gilt für alle

M \in M^{⋆}

dass

x \notin M

. Das aber bedeutet, dass für alle

M \in M^{⋆}

gilt

x \in M^{C}

. Deshalb ist

x \in (⋂_{M \in M^{⋆}} M^{C})

. Damit ist

{(⋃_{M \in M^{⋆}} M)}^{C} \subseteq (⋂_{M \in M^{⋆}} M^{C})

\supseteq :

Sei nun

x \in (⋂_{M \in M^{⋆}} M^{C}),

dann gilt für alle

M \in M^{⋆},

dass

x \in M^{C}

. Deshalb gilt für alle

M \in M^{⋆} : x \notin M

. Daraus folgt, dass

x \notin (⋃_{M \in M^{⋆}} M)

. Deshalb ist

x \in {(⋃_{M \in M^{⋆}} M)}^{C}

und deshalb gilt:

{(⋃_{M \in M^{⋆}} M)}^{C} \supseteq (⋂_{M \in M^{⋆}} M^{C})

Aus den beiden Teilmengenbeziehungen folgt die Gleichheit der beiden Mengen:

{(⋃_{M \in M^{⋆}} M)}^{C} = (⋂_{M \in M^{⋆}} M^{C})

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