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diffeomorphism
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Funktionalanalysis
 
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Hallo alle zusammen. Ich habe ein kleines aber gleichzeitig für mich ein großes Problem. In der folgenden Aufgabe soll man zeigen wo die Funktion Diffeomorphism ist. Meine Idee war die Jacobi Matrix zu berechnen und zu überprüfen ob die Jacobi Matrix Invertierbar ist. Dazu habe ich überprüft ob die Determinante ungleich 0 und die Determinante ist genau dann ungleich 0 wenn nicht gilt. ALso ist die Matrix INvertierbar für alle Punkte ungleich . Mein Problem : viele Hören nun an dieser stelle auf aber ich verstehe nicht warum. Für Diffeomorphism muss man doch zeigen das die Funktion Stetig Differenzierbar ist und das die umkehrabbildung auch Stetig Differenzierbar ist. oder verstehe ich da was falsch ?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, bevor ich mich in ca. 2-3 Stunden wieder melde, kannst du ja schon mal in deinen Unterlagen nachschauen, wie der Satz über die Umkehrfunktion im mehrdimensionalen genau lautet. Vielleicht ergibt sich daraus ja schon eine Teilantwort für dein Problem. Gruß ermanus |
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Hallo, bin früher da als erwartet ;-) Hast du denn schon den genauen Wortlaut des Satzes über die Umkehrabbildung gefunden und studiert? Da steht ja drin, dass ein lokaler Diffeomorphismus in Umgebungen all der Punkte ist, in denen stetig diffbar ist und eine invertierbare Jacobi- Matrix besitzt. Du hast nun schon richtig gesagt, dass die stetige Differenzierbarkeit überall gegeben ist und die Jacobi-Matrix in alle Punkten invertierbarist, die nicht auf den beiden Geraden und liegen. Nimmt man also diese beiden Geraden aus der reellen Ebene heraus, so zerfällt diese in 4 Viertelebenen. Das sind dann die Zusammenhangskomponenten der "guten Punkte". Kommst du soweit klar? |
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Ja ich habe den Satz über die Umkehrfunktion gelesen. Wenn also die Jacobi Matrix Invertierbar ist dann ist die Funktion Lokal Umkehrbar und diese Umkehrabbildung ist Stetig Differenzierbar. stimmt das ? Also folgt das die Umkehrabbildung von Stetig Differenzierbar ist |
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Ja, so sehe ich das auch. Damit ist also a) erledigt. Nun hast du aber ja nur einen LOKALEN Diffeomorphismus und in b) wird ja nach einem globalen Diffeomorphismus auf einem mölglichst großen Gebiet gesucht. Die zusammenhängenden Viertelebenen sind vermutlich gute Kandidaten für solch ein . Wir versuchen's mal mit der rechten Viertelebene und . Wir wissen, dass ein surjektiver lokaler Diffeomorphismus ist. Wenn wir zeigen können, dass dieser auch injektiv ist, dann ist ein (globaler) Diffeomorphismus. Also versuche mal, die Injektivität von auf zu beweisen. |
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Ich weiß leider nicht wie ich das machen soll |
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OK! Vielleicht ist es ja auch nicht so einfach! Injektivität bedeutet ja z.B. . Diese Implikation wollen wir beweisen. Vielleicht gibt es einen besseren Weg, ich führe dich aber auf meinem Weg voran: Unsere Voraussetzung ist: und . Da injektiv ist, kann man daraus folgern: . Fällt dir zu den Versatzstücken und irgendwas "aus der Schule"ein ? |
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um ehrlich zu sein bin ich etwas verwirrt bei der Das ist eine Klausuraufgabe ist das nicht ein bisschen schwer für eine Klausuraufgabe ? |
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Kann durchaus sein, dass meine Vorgehensweise total daneben ist ?!?!? |
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nein das glaube ich nicht. Ich glaube ich komme einfach nicht klar mit der Aufgabe |
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Also, wenn man so etwas sieht wie und , dann könnten diese Bruchstücke einen (möglicherweise ;-)) an die binomischen Formeln erinnern: Nun bilde und . |
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Ich verstehe zwar nicht was wir machen aber ich tue einfach was du sagst : Ich weiß nicht mal wie die Gleichung |
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Du weißt aber doch, wie man Injektivität beweist? ist injektiv Das ist äquivalent zur Kontraposition: . Die Prämisse dieser Inklusion ist mit ausgeschriebenem in unserem Falle: . Wenn ich schreibe , dann ist das doch eine durchaus verbreitete Schreibweise, wie man sie auch bei linearen Gleichungssystemen verwendet: . . Das ergibt: und . |
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achso ja stimmt sorry |
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Das, was du gerechnet hattest, war gar nicht so falsch gedacht. Du hast nur vergessen, dass dann rechts hätte stehen müssen. Dann hättest du dasselbe wie ich erhalten. Wenn ist, dann gilt und . Daher sind die Ausdrücke in den quadrierten Klammern alle , so dass man nur die positive Quadratwurzel berücksichtigen muss: , . Hieraus kannst du vielleicht ;-) auf und schließen? |
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Ja wenn ich die Gleichungen addiere erhalte ich : daraus Folgt da ich nun weiß das kann ich in einer der Gleichungen Bspweise die auf die andere Seite machen somit bleibt übrig |
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Genau! So kann man's machen :-) Nun haben wir die Injektivität nachgewiesen !!!! Vielleicht geht das auch einfacher? @Alle: hat einer eine kürzere oder einfachere Methode, die Injektivität von zu beweisen ???? |
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wir haben nun die Injektivität gezeigt. (und du nimmst auch an das die Funktion Surjektiv ist warum ?) Also ist die Funktion Bijektiv heißt das die Funktion ist in dem Gebiet Diffeomorphismus oder wie ? Wir müssen ja noch zeigen das die Umkehrabbildung Stetig Differenzierbar ist |
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Ich nehme nicht an, dass die Abbildung surjektiv ist, sondern es ist trivial, dass jede beliebige Abbildung surjektiv ist, da die rechte Seite doch nur aus den Bildern von unter besteht. Die stetige Diffbarkeit der Umkehrfunktion ist eine lokale Eigenschaft und du hast doch selbst ganz oben zitiert, dass der Satz über die Umkehrabbildung genau diese Diffbarkeit sichert. |
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achso wir haben gezeigt das die Funktion Bijektiv ist und somit eine Umkehrabbildung existiert. Aber im Satz über die Umkehrfunktion ist steht doch das wir überprüfen müssen ob die Jacobi Matrix Invertierbar ist und wenn diese Invertierbar ist können wir sagen das die Umkehrung stetig Differenzierbar ist hmm |
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In den offenen Viertelebenen ist doch die Jacobi-Matrix invertierbar. Das war es doch gerade, weswegen wir aus der reellen Ebene die "bösen Anteile" und herausgenommen haben. Insbesondere ist doch dann die Jacobimatrix überall in invertierbar. Das haben wir doch deswegen gerade alles so gemacht (bin verwundert ????) Die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix war doch unsere Ausgangssituation, die dazu führte, die beiden Geraden rauszunehmen, weil genau auf diesen die Jabimatrix eben nicht invertierbar ist. |
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Ja tut mir leid ermanus ich bin sehr verwirrt in diesem Themenbereich. Deswegen sind diese fragen da. Ich bin dir sehr dankbar für deine Hilfe. |
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