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dim(Kern(A)) am charakteristischen Polynom ablesen

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Tags: Charakteristisches Polynom, dimension, Kern

 
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anyala13

anyala13 aktiv_icon

12:42 Uhr, 08.11.2015

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Liebe Mathegenies!

Diesmal habe ich eine Verständnisfrage, bei der ich zu blöd bin, sie zu durchschauen.

Ich sitze vor einem ähnlichen Beispiel wie folgendes:

http//www.onlinemathe.de/forum/Dimension-des-Kerns-mit-charakt-Polynome

Anhand Dr. Boogies Antworten, kann ich mein Beispiel lösen. Allerdings verstehe ich nicht, wie er anhand der charakteristischen Polynome auf die Dimensionen des Kerns schließen kann!

Anders formuliert:

Wie kann ich von irgendeinem charakteristischen Polynom χA die Dimension des Kerns von A ablesen??


Bei den Internetbeispielen ist mir aufgefallen, dass dim(Kern(A))=1 ist, wenn 0 ein Eigenwert von A ist, ansonsten war dim(Kern(A))=0. Dies kann aber nicht die Erklärung sein oder??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:06 Uhr, 08.11.2015

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Zuerst mal ist 0 ein Eigenwert von A genau dann, wenn Kern(A)≠{0}.
Denn ist 0 ein Eigenwert, gibt's ein v≠0 mit Av=0⋅v=0, also v∈Kern(A) => Kern(A)≠{0}.
Und andererseits, ist Kern(A)≠{0}, dann gilt für ein v≠0 aus Kern(A):
Av=0 => 0 ist ein Eigenwert zum Eigenvektor v.

Also, den Fall Kern(A)=0 bzw. Kern(A)≠0 kann man darüber aufklären, ob 0 ein Eigenwert ist.

Für dim(Kern(A))=1 muss etwas mehr gemacht werden. Ist 0 ein Eigenwert, wissen wir, dass dim(Kern(A))>0. Auch wissen wir, dass Kern(A) aus Eigenvektoren zum Eigenwert 0 besteht. Dabei wird dim(Kern(A)) die geometrische Vielfachheit vom Eigenwert 0 genannt. Aber es gibt so ein Resultat: geometrische Vielfachheit ≤ algebraische Vielfachheit. Und algebraische Vielfachheit ist die Potenz α von (t-λ)α in der Zerlegung des charakteristischen Polynoms in lineare Terme. In unserem Fall ist λ=0, also geht es um die Potenz tα. Ist z.B. unser Polynom -t3+2t2-t, so ist α=1, denn -t3+2t2-t=-t(t-1)2. Damit ist die algebraische Vielfachheit von 0 gleich 1 und geometrische Vielfachheit kleiner gleich 1. Aber 0 kann sie nicht sein, denn dim(Kern(A))>0. Also muss sie 1 sein.


Frage beantwortet
anyala13

anyala13 aktiv_icon

08:45 Uhr, 09.11.2015

Antworten
Vielen Dank für die tolle und verständliche Erklärung!! :-)