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diophantische Gleichungen mit Lösungsmenge
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: diophantische Gleichung, Sonstiges
 
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Hi, kann mir jemand das Lösen einer diophantischen Gleichung Schritt für Schritt erklären, so dass am Ende eine Lösungsmenge heraus kommt? Ich finde im Internet jede Menge Erklärungen und Lösungsprogramme, allerdings haben wir es in der Vorlesung anders gemacht und erklärt bekommen: zB: ist die Lösung der Gleichung: 123x + 57y = 531 folgende: Damit ich alle Ganzzahligen Lösungen in Z bekomme, muss d in Z liegen und damit kann ich zwei Ungleichungen aufstellen, die als Ergebnis das Paar (2,5) ergeben. Was aber muss ich tun wenn ich ein Ergebnis in R errechnen muss? In unserem Skriptum steht ein Weg wie ich auf die Lösungsmenge komme, der ist mir klar. Aber so generell müsste es doch irgendwie eine etwas einfacherer Lösungsmöglichkeit geben - kann mir jemand helfen?? Vielen, vielen Dank!! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, hm, du hast im Internet nach dem Topic gesucht. Das ist gut. Du lehnst aber deren Vorgehensweise ab, weil ihr es (in der Vorlesung) anders gemacht habt. Hab ich das richtig verstanden? Wäre es dann nicht sinnvoller, wenn du die Vorlesungsmethode hier Schritt für Schritt wiedergeben würdest? Dann könntest du diejenigen Stellen markieren, die du noch nicht verstanden hast. Das wäre natürlich mehr Aufwand für dich, aber du wirst einsehen, dass ich keine Lust habe, hier noch eine Internetmethode anzugeben, die ihr in der Vorlesung anders gemacht habt. Das wäre dann viel Arbeit für mich, ohne dass sie Wirkung zeigt. Mfg Michael |
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Sorry, das ist wohl falsch rüber gekommen. ;) Ich lehne nicht die Verfahren im Internet ab, aber im Internet sowie in Mathematica bekomme ich für die oben gestellte Gleichung folgende Lösung präsentiert: y = 177/19 - (41 x)/19 Ich weiß aber überhaupt nicht, was ich mit dieser Lösung anfangen soll, bzw. wie diese Lösung zu der Lösungsmenge im Skriptum passt. Also wie ich vom einen aufs andere komme. Bzw. was ich jetzt wirklich berechnen muss, wenn da steht: Lösen Sie die Gleichung in R x R und N x N. (also N x N kann ich schon so wie oben beschrieben lösen aber wie sieht die Lösung in R x R aus?) Der Lösungsweg im Skript sieht folgendermaßen aus: Wenn man die bereits gekürzte Gleichung a' * x + b' * y = c' und unter Verwendung des euklidschen Divisionsalgorithmus die Zahlen u, v bestimmt hat: x* = u . c' und y* = v . c' ist eine ganzzahlige Lösung der Gleichung. Die Lösungsmenge L ist dann die Menge aller ganzzahligen Lösungen und ergibt sich aus: (hier der . als Multiplikationszeichen um nicht mit x* und y * durcheinander zu geraten)
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Hallo, sorry, dann hab ich dich falsch verstanden. Die "Lösung" von Mathematica geht halt nicht von einer diophantischen Gleichung aus, daher sieht sie eben etwas anders aus als gewohnt. Mal an die Sache der Vorlesung. Dort geht ihr von der > bereits gekürzte[n] Gleichung aus. Deine Gleichung ist noch kürzbar. Mach doch das erst mal, dann gehen wir nach Script weiter vor. Mfg Michael |
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Ich hab auf: 41x + 19y = 177 gekürzt. (ggT war 3 ist jetzt 1 also nicht mehr weiter kürzbar) Dann bekomm ich über den Divisionsalgorithmus -6 und 13 für u und v. x* ist dann -6 . 177 und y* ist 13 . 177 Damit hab ich jetzt meine Lösungsmenge und dann? ^^ |
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Hallo, also, gekürzt hast du richtig. Deine Gleichung hat nur dann ganzzahlige Lösungen, wenn der ein Teiler von 177 ist. Nun ist =1, also ist es egal, was für eine Zahl auf der rechten Seite steht, da es dann immer eine Lösung gibt. Um eine einzige (partikuläre) Lösung zu finden, verwendet man tatsächlich den euklidischen Algorithmus: Damit erhält man =1 (wussten wir schon) und auch, wie man diesen durch 41 und 19 darstellen kann. Es gilt nämlich (vorletzte Zeile): Damit kannst du deine Gleichung auch so schreiben: Sortiert man nun die Summanden nach 41ern auf der einen Seite und 19ern auf der anderen, erhält man: oder eben: So, warum ist das nun besser? 41 und 19 sind teilerfremd. Damit so eine Gleichung aufgeht, muss durch 41 teilbar sein (weil 19 es NICHT ist) und durch 19. Am einfachsten erreicht man also ein Gleichheitszeichen, wenn man und setzt. Weitere Lösungen erhältst du, indem du und für ein beliebiges setzt. Daraus ergibt sich die in deinem Script angegebene Lösungsgesamtheit von Mfg Michael |
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Juhu, ich glaub ich habs endlich verstanden.... DANKE! |
