doppelter Betrag - Wie lösen?

Hallo,

kurze Frage, die für jemanden der sich gut mit Betragsungleichungen auskennt einfach zu lösen sein sollte:

Die Aufgabenstellung lautet:

${\displaystyle \left|\left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|-1\right|<2}$

Dass ich ne Fallunterscheidung duchführen muss ist klar, nur komme ich mit dem doppelten Betrag einfach nicht zurecht...

Wie gehe ich da vor?

Hallo Michael.

Danke für die Antwort.

Um den ersten Betrag wegzubekommen müsste ich dann ja das erste mal quadrieren.

Dann würde aus

${\displaystyle \left|\left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|-1\right|<2}$

also

${\displaystyle (\left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|-1)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<2\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ werden.

Damit habe ich dann schonmal die äußeren Betragsstriche eliminiert.

Korrigier mich wenn ich falsch liege.

Da es sich bei dem dabei entstandenen Term um ein Binom handelt, muss ich das ganze nach der 2. Binomischen Formel auflösen.

Also erhalte ich:

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2*\left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|+1<2^2}$

Forme ich nun noch ein wenig um, dann erhalte ich

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2*\left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|+1<3}$

Sieht mir aber etwas komisch aus... Und um ein . Mal quadrieren komme ich wohl nicht herum, oder?

Oder ist mein Ansatz schon komplett falsch...

Oder muss ich in der Ausgangsungleichung zuerst den inneren Betrag quadrieren?

${\displaystyle \left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& ,\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 0\\ -\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& ,\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<0\end{array}\right\}}$

Supi!

Also mache ich dann für die beiden Fälle jeweils ein VZD.

Habe das gemacht, als Gesamtlösungmenge erhalte ich

${\displaystyle \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=(-3,3)}$

Sollte passen oder?

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2\left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|+1<4\iff {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2\left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|-3<\mathrm{0.....} \\ } \end{gathered}$$

Fallunterscheidung war richtig ..Aber achte darauf du suchst hier keine Nullstellen.! du hast eine Ungleichung und keine Gleichung

Ja genau diese gelichung(en) habe ich ja aufgestellt.

dann das ganze faktorisiert, ein vzd gemacht und habe für jede gleichung eine intervall abgelesen, für die die gleichung kleiner null ist.

Konkret habe ich gemacht:

1. Fall

x²-2x-3<0

(x-3)(x+1)<0

Aus dem VZD ergibt sich dann L=(-1,3)

2. Fall

x²+2x-3<0

(x+3)(x-1)<0

Aus dem VZD ergibt sich dann L=(-3,1)

Als vereinigte Gesamtlösungsmenge erhalte ich somit L=(-3,3), was auch in der Probe stimmt.

Passt das?

@Schmiddi86 noch mal achtung ! du hast da eine Ungleichung . also bei -3 zum bs hast du da eine 0 und nicht kleiner als Null ...versuche die beiden Funktionen zu zeichnen dann siehst du es

Ok danke.

Was ist denn bs? Sorry bin noch neu hier :-)

Kannst du das gange ding mal für mich vorrechnen? Ich steh grad echt total aufm Schlauch.

Dann kann ich mirs anhand der Rechnung veranschaulichen!

Danke!

Edit: Also ich hab die beiden jetzt mal mim Plotter gezeichnet, aber schlauer bin ich dadurch jetzt auch nicht (leider!!!)

mit BS meinte ich Beispiel :-) bei der ersten UNGLEICHUNG hattest du (x-3)(x+1)<0

dann ist diese Funktion kleiner als null in dem Bereich -1<x<3 bei x= -3 ist (3-3)(3+1)=0 und nicht <0

Hatte doch genau das geschrieben das die das Lösungsintervall der ersten Ungleichung -1<x<3 und der zweiten -3<x<1 sein muss...

Und vereinigt bekomme ich dann -3<x<3

Oder nicht?

Wenn nicht dann steh ich jetzt total aufm schlauch.

Ach: Jetzt glaub ich ich weiß was du meinst!

Ich glaub es lag an meiner schreibweise! Mit L=(-1,3) meinte ich ein offenes Intervall!

Dann müsste es jetzt passen!?

ja ok ich dachte damit meinst du x=-3 und x=3 mein Fehler :-)

OK super, danke!

Tolles Forum! :-)

Gruß

Christian