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e hoch pi oder pi hoch e???
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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Hallo alle Mathematiker! In Mathe gibt´s viele Probleme, die gelöst sind, aber auch viele, mit denen es nicht so einfach aussieht. Ungefähr vor einem Jahr habe ich mich mit dieser Aufgabe beschäftigt: "Entscheiden Sie, welche der Zahlen e hoch pi oder pi hoch e grösser ist. Benutzen sie dabei keine numerischen Methoden (Taschenrechner oder Computer zum Computing der Werte dieser zwei Zahlen sind absolut verboten!)." Ich habe leider nur eine Methode gefunden. Jetzt präsentieren will ich sie hier nicht, damit ich sie mit meinen Gendaken nicht "anstecke". Ich bitte alle, die eine Methode entdecken, ob sie sie hier nicht präsentieren könnten. Dann können wir vergleichen. Wenn sie wollen, können wir alles noch komplizieren und Verallgemeinern ;-))). Es geht; und es ist vor allem sehr schön ... Mit vielen mathematischen Grüßen aus Tschechien Marian. P.S.: Bezeichnungen in der Aufgabe: e ... die sgn. Eulersche Zahl (2,7...), pi... die Ludolpsche Zahl (3,1415...). |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) | |
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anonymous 17:36 Uhr, 31.07.2004 |
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e^[1-1] = 1 e^[n-1] > n, für alle n > 1 pi > e, also: ln(pi) > 1 e^[ln(pi)-1] > ln(pi) {e^ln(pi)}/e > ln(pi) e^ln(pi) > e*ln(pi) pi > e*ln(pi) pi > ln(pi^e) e^pi > e^ln(pi^e) e^pi > p^ie |
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anonymous 10:19 Uhr, 03.08.2004 |
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sehr schöner Beweis aber kurze Zwischenfrage: Woher ziehst du dir dieses e^[ln(pi)-1]>ln(pi) ? Das ist das einzigste was mir an deinem Beweis nicht ersichtlich ist. |
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In der zweiten Zeile schreibt Bolfo "e^[n-1] > n, für alle n > 1", was man an der Elementarentwicklung schnell sieht. Setze ln(pi):=n |
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Hallo! Hier sind meine Gedanken zu diesem Problem …… Das Zeichen * bezeichne weiter eins der Zeichen > oder <. Das Zeichen PI Heisse im weiteren die Ludolpsche Zahl (3,141 5 ...) und das Zaichen e heisse im weiteren die Eulersche Zahl (2,718 ...). ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Es muss gelten: e^(PI) * (PI)^e. <=> e^(1/e) * (PI)^(1/(PI)). So bekommt man eine interessante Funktion: F(x) = x^(1/x), das heisst “x-te Wurzel aus x”. Untersucht man diese Funktion auf Extrema, stellt man fest, dass F(x) ein lokales maximum im Punkt x = e hat. Aus der ersten Ableitung (logaritmisch zu berechnen) sieht man auch, dass F(x) im Interval (e; +oo) sinkt. Da e <pI => F(e) > F(PI) => e^(1/e) > (PI)^(1/(PI)). Also das Zeichen * muss heissen >. Davon also die Lösung der Aufgabe: e^(PI) >(PI)^e. ---------------------------------------------------------------------- Später habe ich auch diese Aufgabe noch mit Logaritmieren gelöst, aber die wichtigsten Gedanken blieben. Ich danke hiermit auch allen, die sich mit diesem Problem zusammen mit mir befasst haben. Viele Grüße Marian |
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