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eigenschaft eines vektorraums
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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die aufgabe setzt die kentnissse der eigenschaften eines vektorraums voraus. diese beitze ich. ich soll nun ein beispiel einer menge finden mit den operationen +: V x V -> V und *(mal): R x V -> V, so dass alle eigenschaften erfüllt sind , außer die folgende: für alle v gilt: 1v=v als hinweis wurde uns hier noch gegeben: die Menge V kann aus zwei elementen bestehen. aber damit kann ich nichts anfangen. das heisst, ich kann das nicht verwerten. danke für eure bemühungen |
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ich habe noch ein problem. es geht um den untervektorraum . ich soll alle untervektorräume der vektorraums R² finden, die den vektor (1,0) enthalten und muss das auch noch beweisen. wenn das jemand kann, dann bitte helfen und es mir erklären. |
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Hallo, ich glaub für die erste Aufgabe bin ich schon zu lange weg vom Fenster, ich find den "Anfangstrick" irgendwie nicht. Aber für die zweite reicht's noch: Zunächst muß man das Wort Untervektorraum genauer festlegen. Bei mir waren das alle Teilmengen (nicht nur echte Teilmengen), die selbst einen Vektorraum bilden. Damit war jeder Vektorraum auch sein eigener Untervektorraum. Handelte es sich um eine echte Teilmenge, dann sprach man auch von einem echten Untervektorraum. Du mußt jetzt überprüfen, ob Deine Definition des Untervektorraums auch den Vektorraum selbst mit erfaßt oder nicht. Wenn nicht, dann mußt Du den einen Untervektorraum einfach weglassen und hast nur noch die anderen! Der R^2 ist zweidimensional, d.h. alle Untervektorräume sind maximal zweidimensional, d.h. entweder zweidimensional oder eindimensional oder nulldimensional. Betrachten wir diese 3 Fälle. Fall 1: Der gesuchte Untervektorraum ist zweidimensional Es gibt genau einen zweidimensionalen Untervektorraum, der R^2 selbst. Dieser enthält natürlich den Vektor (1,0). Fall 2: Der gesuchte Untervektorraum ist eindimensional Für alle Untervektorräume in diesem Fall gilt, daß sie eine Basis mit genau einem Vektor haben. Sei dieser Vektor jeweils mit a bezeichnet. Dann ist die Menge {a;(1,0)} ein Erzeugendensystem des Unterraums. Da die Dimension aber nur 1 ist, ist dieses Erzeugendensystem keine Basis mehr. Es gibt ein Verfahren, um aus einem (nullelementfreien) Erzeugendensystem mit m Vektoren, das keine Basis ist, ein Erzeugendensystem mit m-1 Vektoren zu machen. Wenn das Erzeugendensystem keine Basis ist, dann gibt es linear abhängige Vektoren, d.h. einer der Vektoren läßt sich als nichttriviale Linearkombination von anderen Vektoren des Erzeugendensystems darstellen. Diesen so dargestellten Vektor kann man aus dem Erzeugendensystem "streichen", ohne daß die Eigenschaft, Erzeugendensystem zu sein, für die Restmenge verlorengeht. Hat man eine Linearkombination eines beliebigen Vektors aus den Vektoren des Erzeugendensystems und der Koeffizient bei dem eliminierten Vektor ist ungleich Null, dann setzt man für den Vektor einfach die Linearkombination ein, die man zuvor gefunden hat und faßt dann alles zusammen, dann hat man eine Linearkombination dieses beliebigen Vektors bestehend nur aus dem Vektoren der reduzierten Menge. Hat man eine Linearkombination eines beliebigen Vektors aus den Vektoren des Erzeugendensystems und der Koeffizient bei dem eliminierten Vektor ist gleich Null, dann hat man sofort auch eine Linearkombination dieses beliebigen Vektors nur aus den Vektoren der reduzierten Menge. Damit lassen sich alle Vektoren mit dem Vektoren der reduzierten Menge erzeugen, es ist also tatsächlich ein Erzeugendensystem. In unserem Fall ist es so, daß a eine Basis des Untervektorraums ist, der (1,0) enthält. Es gibt also eine Linearkombination, so daß (1,0) aus a dargestellt werden kann. Das heißt aber nichts anderes, also es gibt ein L (soll lambda sein), so daß (1,0)=L*a gilt. Da (1,0) nicht der Nullvektor ist, ist L auch ungleich Null. Also ist doch a=1/L*(1,0). Damit habe ich eine nichttriviale Linearkombination von a aus den Restvektoren des Erzeugendensystem dieses Untervektorraums und ich kann die Menge {a;(1,0)}\{a}={(1,0)} bilden, die wiederum eine Erzeugendensystem ist. Jetzt ist aber die Anzahl der Vektoren in der Basis eines Vektorraums gleich der Dimension und damit die minimale Anzahl der Vektoren in einem Erzeugendensystem. Mengen mit weniger Vektoren können kein Erzeugendensystem und damit auch keine Basis mehr sein. Wir haben es in diesem Fall mit einem eindimensionalen Untervektorraum mit einem Erzeugendensystem mit einem Vektor zu tun. Damit ist dieses Erzeugendensystem Basis des Untervektorraums. Alle eindimensionalen Untervektorräume, die (1,0) enthalten, haben also die Basis {(1,0)}, sind damit also alle gleich. Es gibt also nur einen eindimensionalen Untervektorraum, der den Vektor (1,0) enthält. Fall 3: Der gesuchte Untervektorraum ist nulldimensional Ein nulldiemensionaler Untervektorraum besteht nur aus dem Nullelement und enthält somit nicht den Vektor (1,0). Zusammen ergibt sich, daß es genau zwei Untervektorräume gibt: den R^2 selbst und den durch die Basis {(1,0)} erzeugten Untervektorraum. |
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| sorry, aber ich kenne das wort "Erzeugendensystem" nicht und kann deshalb deinen ausführungen nicht folgen | |
anonymous 14:23 Uhr, 28.10.2006 |
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Hallo Nicole, Ein Erzeugendensystem ist eine Menge M aus Vektoren, die einen Vektorraum U aufspannen. Dann ist dieser Vektorraum U gerade alle möglichen Linearkombinationen der Vektoren aus M, dh U = LinKom(M) Als Bsp kannst du den R³ nehmen. Dieser wird beispielsweise von e[1]=(1|0|0), e[2]=(0|1|0) und e[3]=(0|0|1) aufgespannt, dh R³ = LinKom(e[1],e[2],e[3]) = a*e[1] + b*e[2] + c*e[3] mit a,b,c aus R. Hier ist sogar LinKom(e[1],e[2],e[3]) nicht nur ein Erzeugendensystem sondern auch eine Basis von R³... Ich hoffe das hat dir ein wenig weitergeholfen. mfg |
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