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einfache verzinsung vs zusammengesetzte

Schüler Kaufmännische mittlere u. höhere Schulen, 13. Klassenstufe

Tags: Finanzmathematik, Zinsrechnung

babsi19 aktiv_icon

23:41 Uhr, 21.08.2013

hallo,

hätte folgende frage:

warum kommt beider einfachen verzinsung, bei laufzeiten unter einem jahr, ein höherer endwert heraus als bei der zusammengesetzten verszinsung (zinseszinsen)?

wird in meinem buch behauptet, aber nicht näher erklärt. wie ist das zu verstehen, kann mir bitte jemand helfen?

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Zinsrechnung

anonymous

05:12 Uhr, 22.08.2013

Das liegt im Grunde am Verhältnis zwischen linearen Funktionen und Exponentialfunktionen.

Bezeichnungen:

K_{0} :

Startkapital

p :

Zinsfuß

i = \frac{p}{100} :

Zinssatz

n :

Anzahl der Jahre

Bei einfachen Zinsen ohne Zinseszinsen steigt das Kapital linear:

K_{n, l i n} = K_{0} + K_{0} \cdot i \cdot n = K_{0} \cdot (1 + i \cdot n)

Bei Zinseszinsrechnung steigt das Kapital exponentiell:

K_{n, e x p} = K_{0} \cdot {(1 + i)}^{n}

Nach der (verallgmeinerten) bernoullischen Ungleichung gilt nun:

(1 + i \cdot n) \geq {(1 + i)}^{n}

für

0 \leq n \leq 1

(1 + i \cdot n) \leq {(1 + i)}^{n}

für

1 \leq n

Multipliziert man nun jeweils mit dem Startkapital erhält man:

K_{n, l i n} \geq K_{n, e x p}

für

0 \leq n \leq 1

K_{n, l i n} \leq K_{n, e x p}

für

1 \leq n

Ich habe das auch noch grafisch anhand des Beispiels

...

K_{0} = 100

i = 25 % = 0,25

...

veranschaulicht. (Siehe: Bild im Anhang)

Der lineare Verlauf ohne Zinseszinsen ist rot eingezeichnet.
Der exponentielle Verlauf mit Zinseszinsen ist blau eingezeichnet.

babsi19 aktiv_icon

20:08 Uhr, 22.08.2013

vielen dank für die ausführliche antwort!!!

aber ist mir leider noch nicht ganz verständlich.

-mir ist klar, dass ab 1 jahr die zusammengesetzte verzinsung das Kapital schneller steigen lässt, weil es ab dann zinseszinsen gibt.

-bei genau einem jahr, ist der kapitalanstieg gleich, das scheind mir auch logisch

=)

-aber warum die lineare unter einem jahr einen stärkeren zuwachs ermöglicht versteh ich nicht

. .

.

wenn ich von unterjähriger verzinsung ausgehe, dann sollte es doch noch früher zinseszinsen geben.

K (N) = K (0) \cdot {(1 + \frac{i}{m})}^{m} \cdot N

K (N) = K (0) \cdot (1 + \frac{i}{m} \cdot N)

oder wird dabei nicht von unterjähriger verzinsung ausgeganen?

lg

rhermes aktiv_icon

20:52 Uhr, 22.08.2013

Mit dem Zinssatz

i

und

n

als Anzahl der unterjährigen Verzinsungen mache ich mir das immer mit der Binomialreihe klar:

(1 + \frac{1}{n} i)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \frac{1}{n^{k}} i^{k} = 1 + i + \dots \geq 1 + i

Daraus folgt:

(1 + \frac{1}{n} i) \geq \sqrt[n]{1 + i} = (1 + i)^{\frac{1}{n}}

Die letzte Gleichung, die ich mit der Binomialreihe hergeleitet habe, zeigt, dass bei unterjähriger Verzinsung die lineare Verzinsung einen etwas höheren Wert ergibt als die stetige Verzinsung, weil bei der Binomialreihe Glieder wegfallen.
Nimmt man

i = 0, 05 = 5 %

und

n = 2

, dann ergibt sich bei einem Jahreszins von 5% und einem halben Jahr:

1 + \frac{1}{2} 0, 05 \geq \sqrt[2]{1, 05}

1, 025 \geq 1, 02469 \dots

Es fällt mir nicht ganz leicht, das zu erklären. Ich hoffe, ich habe trotzdem geholfen.

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