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endlich erzeugte abelsche Gruppen, Hauptsatz

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Tags: Gruppen

Didgeridoo aktiv_icon

11:22 Uhr, 22.01.2012

Ich soll folgene abelsche Gruppe in Form des Hauptsatzes schreiben:

G = ℤ / 6 ℤ \times ℤ / 8 ℤ \times ℤ / 20 ℤ \times ℤ / 50 ℤ

Wie mache ich das? Ich muss ja

f_{1}, . . ., f_{s}

finden, s.d.

f_{1} ∣ . . . ∣ f_{s}

, aber so auf den ersten Blick sehe ich das nicht. Gibt es da nicht einen Trick? Ausserdem sollte

f_{1} \cdot . . . . \cdot f_{s} = 6 \cdot 8 \cdot 20 \cdot 50

oder?
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank schon im Voraus!

michaL aktiv_icon

12:05 Uhr, 22.01.2012

Hallo,

denke schon. Poste aber bitte die Originalaufgabenstellung!

Mfg MIchael

Didgeridoo aktiv_icon

12:23 Uhr, 22.01.2012

Sorry, das war zwar schon die Originalaufgabenstellung, aber wir hatten eben bloss einen Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen, deshalb war allen klar, was gemeint ist. Anyway... Unser Hauptsatz lautet: Sei G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen

f_{1}, . . ., f_{s} \in ℕ

mit

f_{1} ∣ . . . ∣ f_{s}

und ein eindeutig bestimmtes n s.d.

G ≅ ℤ / < f_{1} > \times . . . \times ℤ / < f_{s} > \times ℤ^{n}

.
Eigentlich weiss ich auch schon, wie die Aufgabe gelöst werden kann, nur leider verstehe ich nicht recht wieso. In der Lösung zerlegen sie 6,8,15,20 und 50 in Primfaktoren, was ja sehr leicht geht und dann stellen sie eine Tabelle auf, die nach Potenzen geordnet ist...in etwa so:

2, 2, 2^{2}, 2^{3}

3, 3

5, 5, 5^{2}

Ich hoffe, du weisst, was gemeint ist... Dann multiplizieren sie von rechts:

f_{4} = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2} = 600

f_{3} = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60

f_{2} = 2 \cdot 5 = 10

f_{1} = 2

Entsprechend wäre

G ≅ ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 10 ℤ \times ℤ / 60 ℤ \times ℤ / 600 ℤ

.
Aber wieso klappt das?
LG

michaL aktiv_icon

12:43 Uhr, 22.01.2012

Hallo,

hm, in meiner Erinnerung steht so etwas wie

f_{1} ∣ f_{2} ∣ \dots ∣ f_{s}

nicht drin, daher habe ich gefragt.
Warum das funktioniert, steht im Beweis eurer Variante des Hauptsatzes drin.

Nur soviel: Wenn

a ∣ b

, wann gilt für jeden Primfaktor von

a

, dass seine Vielfachheit in

a

kleiner oder gleich der Vielfachheit in

b

ist.

Was ist noch zu beachten? Sind

p

und

q

teilerfremd, so gilt

ℤ_{p^{m}} \times ℤ_{q^{n}} ≃ ℤ_{p^{m} \cdot q^{n}}

.

Tja, das sind die Grundlagen (auch) für eure Variante des Hauptsatzes abelscher Gruppen.

Mfg MIchael

hagman aktiv_icon

12:55 Uhr, 22.01.2012

Wie michaL sgat, kann man den Hauptsatz in mehreren Varianten formulieren: Entweder nimmt man zyklische Gruppen von Primzahlpotenzordnung als "Bausteine" oder man macht es wie ihr mit aufsteigenden Teilern. Die eine Methode hat den Vorteil, dass man sozusagen immer dieselben "Atome" verwendet, die andere hat den Vorteil, dass man beispielsweise die maximale Ordnung eines elements leicht ablesen kann.

Ich würde das gegebene

G

zunächst in die erste Weise umformen - unter Ausnutzung von

ℤ / a ℤ \times ℤ / b ℤ \approx ℤ / a b ℤ \Leftrightarrow g g T (a, b) = 1

ℤ / 6 ℤ \times ℤ / 8 ℤ \times ℤ / 20 ℤ \times ℤ / 50 ℤ

\approx (ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 3 ℤ) \times ℤ / 8 ℤ \times (ℤ / 4 ℤ \times ℤ / 5 Z) \times (ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 25 ℤ)

Jetzt kann manjeweils die höchsten auftretenden Primzahlpotenzen zusammenfassen und mit dem Rest ebenso weiterverfahren, bis alle Faktoren "verbraucht" sind:

\approx (ℤ / 8 ℤ \times ℤ / 3 ℤ \times ℤ / 25 ℤ) \times (ℤ / 4 ℤ \times ℤ / 5 Z) \times (ℤ / 2 ℤ) \times (ℤ / 2 ℤ)

und wieder per Teilerfremdheit zusammenfassen:

\approx ℤ / 600 ℤ \times ℤ / 20 ℤ \times ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ

Deine Teilerfolge ist hier also

2 | 2 | 20 | 600

(und

n = 0,

G

keinen freier Anteil hat / endlich ist)

Didgeridoo aktiv_icon

14:06 Uhr, 22.01.2012

Ach so... ich hab' ganz vergessen, dass ja gilt:

ℤ / a ℤ \times ℤ / a ℤ ≅ ℤ / a b ℤ

, falls

g g T (a, b) = 1

Ok. Danke vielmals!! :-)

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