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endliche Vereinigung von Intervallen sigma-Algebra

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Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

Lamy99 aktiv_icon

15:51 Uhr, 14.04.2021

Hallo,

gegeben ist

\overline{ℝ} = ℝ \cup {- \infty, \infty}

und die Menge aller Intervalle auf \mathbb{R} :

ℑ := {A \in P (ℝ) ∣ \exists a, b \in \overline{ℝ} : A = (a, b), A = (a, b], A = [a, b) \lor A = [a, b]}

wobei das a bis a Intervall immer die leere Menge ist.

Entscheide ob:

\overline{A} := {A \in P (ℝ) ∣ \exists n \in ℕ, \exists I_{1}, . . ., I_{n} \in ℑ : A = ⋃_{i = 1}^{n} I_{i} d i s j u n k t}

eine sigma-Algebra oder Mengenalgebra ist.

Mein grober Ansatz: Ich kann ja zum besseren Verständnis der Mengen das A in der Menge

ℑ

durch

I

ersetzen, oder? Ich denke, dass es eine Mengenalgebra ist, dazu überprüfe ich ja die Axiome: die leere Menge ist da enthalten, da das Intervall von a bis a so definiert ist. Mein Problem: ich muss ja zeigen, dass auch die Vereinigung von zwei Elementen

A_{1}, A_{2} \in \overline{A}

wieder in der Menge enthalten ist, das ist ja gerade als die Vereinigung von Intervallen aus

ℑ

definiert. Zum Komplement:

A^{C} = Ω ∖ A = Ω ∖ ⋃_{i = 1}^{n}

. Ist das denn wieder enthalten? Für eine sigma-Algebra muss ja auch die abzählbar unendliche Vereinigung enthalten sein...

Würde mich über Hilfe freuen!

k0mplex aktiv_icon

16:46 Uhr, 14.04.2021

Hallo Lamy,

dein grober Ansatz ist nicht ganz verkehrt. Mir persönlich ist Maßtheorie immer eher schwer gefallen, aber vielleicht kann ich dennoch etwas klarheit schaffen.

Fangen wir doch einmal langsam an. Du hast ja schon richtigerweise erkannt, dass die leere Menge in

\bar{A}

enthalten ist.

Sehen wir und also einmal für

A_{1}, A_{2} \in \bar{A}

an, was für

A_{1} \cup A_{2}

gilt. Du schreibst, dass die Mengen

A_{1}

und

A_{2}

jeweils selbst als Vereinigung von Intervallen geschrieben werden können, also auch die Vereinigung. Das ist natürlich richtig. Allerdings musst du beachten, dass in der Definition von

\bar{A}

nur solche

A

enthalten sind, die sich als disjunkte Vereinigung von Intervallen schreiben lassen. Hier musst du also dein Argument etwas anpassen, um diesen Umstand mit zu berücksichtigen.

Überlege dir einmal (quasi als Bonus zum Verständnis) eine Menge, die nicht in

\bar{A}

liegt.

In deinem Ausdruck für das Komplement hast du wohl die Intervalle in der Vereinigung vergessen. Und das, was da steht, wird wohl kaum als Beweis durchgehen. Versuche das Komplement von

A

tatsächlich einmal explizit als disjunkte Vereinigung von Intervallen zu schreiben.

Viel Erfolg

Lamy99 aktiv_icon

17:02 Uhr, 14.04.2021

Danke erstmal für deine Antwort!

Zur Vereinigung: Ich kann A doch immer als disjunkte Vereinigung halboffener Intervalle schreiben, indem ich zwei sich schneidende Intervalle in disjunkte Intervalle zerlege und die Intervalle entferne, die ineinander liegen. Aber woher weiß ich, dass die Vereinigung von vereinigten disjunkten Intervallen (die ja als

A

definiert sind) in

\overline{A}

liegt?

Zum Komplement: da habe ich auch Verständnisschwierigkeiten.

A^{C} = Ω ∖ A = Ω ∖ ⋃_{i = 1}^{n} I_{i}

war erstmal nur die Definition. Ich muss ja zeigen, dass wenn

A = ⋃_{i = 1}^{n} I_{i} \in \overline{A}

, dann ist auch

A^{C} \in \overline{A}

, darf ich denn

a_{i} < b_{i}

annehmen? Das Komplement ist ja

A^{C} =] a, a_{1}] \cup] b_{2}, a_{3}] \cup . . .] b_{n}, b]

, aber ist das in

\overline{A}

?.

Stimmt meine Überlegung, dass

\overline{A}

eine Mengenalgebra, aber keine sigma-Algebra ist überhaupt?

Lamy99 aktiv_icon

17:09 Uhr, 14.04.2021

Ich bin mir bei der Definition von A als (halb)offene und (halb)abgeschlossene Intervalle in

ℑ

unsicher, kann da was bei unterschiedlich abgeschlossenen/offenen Intervallen schiefgehen

HAL9000

17:14 Uhr, 14.04.2021

Richtig, es ist keine Sigma-Algebra: Als Gegenbeispiel kannst du etwa

ℕ

nehmen, was in

σ (ℑ)

liegt, aber nicht in

\bar{A}

Lamy99 aktiv_icon

17:21 Uhr, 14.04.2021

Danke für deine Antwort HAL9000! Kannst du das mit deinem Beispiel

ℕ

und

σ (ℑ)

nochmal genauer erklären? Zu zeigen ist ja, dass die abzählbar unendliche Vereinigung der

A_{i}

, was ja als endliche Vereinigung von den

I_{i}

definiert ist, nicht wieder in

\overline{A}

ist.

k0mplex aktiv_icon

17:23 Uhr, 14.04.2021

Okay, ich versuche mal konkreter zu werden. Die Frage, ob

\bar{A}

noch eine

σ

-Algebra ist, kann man klären, wenn man gezeigt hat, dass es eine Mengenalgebra ist. Das verschieben wir also mal kurz.

Zur Vereinigung: Seien

A_{1}, A_{2} \in \bar{A}

. Dann existieren

n_{1}, n_{2} \in ℕ

sowie

I_{1, 1}, . . ., I_{1, n_{1}}, I_{2, 1}, . . ., I_{2, n_{2}} \in ℑ

, sodass

A_{1} = ⋃_{i = 1}^{n_{1}} I_{1, i}

und

A_{2} = ⋃_{i = 1}^{n_{2}} I_{2, i}

.

Nun, dann gilt weiter

A_{1} \cup A_{2} = ⋃_{i = 1}^{n_{1}} I_{1, i} \cup ⋃_{i = 1}^{n_{2}} I_{2, i}

,

was insgesamt ja wieder eine vereinigung ist. Das Problem ist hier, dass die letzte Vereinigung erstmal keine disjunkte Vereinigung von Intervallen ist. Wir wissen, dass die

I_{1, i}

und die

I_{2, i}

(für

i \in {\ 1, . . ., n_{1}

) paarweise disjunkt sind. Es kann aber durchaus sein, dass zwei Intervalle

I_{1, i}

und

I_{2, j}

sich überlappen. Hier muss man noch schlussendlich argumentieren, dass für diesen Fall man ein neues Intervall

I := I_{1, i} \cup I_{2, j}

definieren kann.

Insgesamt erhält man wieder eine disjunkte Vereinigung von Intervallen, woraus

A_{1} \cup A_{2} \in \bar{A}

folgt.

(Später bei der

σ

-Algebra muss man sich hier nur noch gedanken machen, ob man dieses Argument induktiv fortführen kann)

Zum Komplement: Wir betrachten

A \in \bar{A}

(hier fällt mir im Übrigen auf, wie ungünstig diese Notation doch gewählt ist). Das Komplement

A^{c}

lässt sich schreiben als

A^{c} = (⋃_{i = 1}^{n} I_{i})^{c} = ⋂_{i = 1}^{n} I_{i}^{c}

.

Sei nun

I_{i} := (a_{i}, b_{i})

ein Intervall. Ich meine, dass man o.B.d.A. die Grenzen offen wählen kann (aber man korrigiere mich bitte, wenn das nicht geht). Dann ist ja

I_{i}^{c} = (- \infty, a_{i}] \cup [b i, \infty)

eine Vereinigung von Intervallen. Wie bei dem Argument über die Vereinigung oben haben wir hier nun den Fall, dass wir bei den ganzen Komplementen wieder mehrere überlappende Intervalle haben können.

Ich hoffe, dass ich das verständlich aufschreiben konnte, und dass es etwas aufgeklärt hat.

EDIT: Hups, ich sehe gerade, dass jemand mit mehr Ahnung als ich auch antwortet. Ich war wohl zu langsam :-)

Lamy99 aktiv_icon

17:35 Uhr, 14.04.2021

Vielen Dank k0mplex für deine ausführliche Antwort!!!

Also muss noch gezeigt werden, dass

A^{c} = ⋂_{i = 1}^{n} I_{i}^{c} \in \overline{A}

ist:

I_{i}^{c} = (- \infty, a_{i}] \cup [b_{i}, \infty) \in ℑ

(genau wie der Schnitt) und auch hier können wir ja wieder Disjunktheit erzeugen, indem wir zwei sich schneidende Intervalle in disjunkte Intervalle zerlegen und die Intervalle entfernen, die ineinander liegen.

k0mplex aktiv_icon

18:06 Uhr, 14.04.2021

Hi Lamy,

ich vermute, dass du in die richtige Richtung denkst. Aber um noch einmal sicher zu gehen: Wir haben

A^{c} = ⋂_{i = 1}^{n} ((- \infty, a_{i}] \cup [b_{i}, \infty))

,

das bedeutet, wir haben nicht wie oben nur Vereinigungen, sondern Schnitte von Vereinigungen. Aber du hast ja schon richtig erkannt, dass wir hier eigentlich nur ausgehend von

ℝ

insgesamt

n

verschiedene (disjunkte) Intervalle "entfernen". Am Ende haben wir

n

"Löcher" und können das übriggebliebene durch disjunkte Vereinigungen darstellen.

Das zu formalisieren und einigermaßen schön aufzuschreiben, ist wohl die eigentliche Herausforderung bei der Aufgabe.

Im Übrigen meint HAL9000 wohl folgendes mit seinem Beispiel (vorausgesetzt, ich habe ihn da richtig verstanden):

ℕ = ⋃_{i = 1}^{\infty} [i, i] \in σ (ℑ)

Jedoch kann ich keine endliche Menge an Intervallen finden, sodass ich

ℕ

als disjunkte Vereinigung derer schreiben kann.

Viel Erfolg!

HAL9000

23:21 Uhr, 14.04.2021

> vorausgesetzt, ich habe ihn da richtig verstanden

Das hast du.

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