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explizite Darstellung von Summenformel

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Tags: Sonstig, Summenformel

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22:44 Uhr, 04.02.2016

Gegeben

S_{2} (n) := \sum_{k = 1}^{n} k^{2}

sollte ich jetzt eine explizite Darstellung dieser Formel angeben, indem ich erstmals

{(k + 1)}^{3} - k^{3}

berechne und dann daraus versuche,

{(n + 1)}^{3} - 1 = 3 \cdot (1^{2} + 2^{2} + ... . . + n^{2}) + 3 (1 + 2 + ... . + n) + n

durch "geschicktes Summieren" zu folgern.

Ich habe erstmal gerechnet.

{(k + 1)}^{3} - k^{3} = k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1 - k^{3} = 3 k^{2} + 3 k + 1

und

{(n + 1)}^{3} - 1 = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - 1 = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n

Wie kann es weiter gehen?
Das einzige was ich versucht habe war eine rekursive umwandlung, wobei ich

3 n^{2} + 3 n + 1

durch

{(n + 1)}^{3} - 1

bzw.

n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - n^{3}

auszutauschen und dadurch hätte man

n^{3} + (n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - n^{3}) - 1

und nach sagen wir mal k-Schritten hätte man

(k + 1) \cdot n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + (k - 1) - k n^{3}

kann man da weiterrechnen oder ist das völliger Blödsinn was ich versucht habe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

23:00 Uhr, 04.02.2016

Schau mal hier: www.onlinemathe.de/forum/Geschlossener-Ausdruck-fuer-Summe-von-Quadratzahlen

Bummerang

23:11 Uhr, 04.02.2016

Hallo,

nachdem Du

{(k + 1)}^{3} - k^{3} = 3 \cdot k^{2} + 3 \cdot k + 1

ermittelt hattest. solltest Du

{(n + 1)}^{3} - 1 = {(n + 1)}^{3} - 1^{3}

= {(n + 1)}^{3} - n^{3} + n^{3} - 1^{3}

= [{(n + 1)}^{3} - n^{3}] + n^{3} - {(n - 1)}^{3} + {(n - 1)}^{3} - 1^{3}

= [{(n + 1)}^{3} - n^{3}] + [n^{3} - {(n - 1)}^{3}] + {(n - 1)}^{3} - . .

+ [{(k + 1)}^{3} - k^{3}] + k^{3} - . .

+ [3^{3} - 2^{3}] + [2^{3} - 1^{3}]

= \sum_{k = 1}^{n} [{(k + 1)}^{3} - k^{3}]

= \sum_{k = 1}^{n} [3 \cdot k^{2} + 3 \cdot k + 1]

= \sum_{k = 1}^{n} [3 \cdot k^{2}] + \sum_{k = 1}^{n} [3 \cdot k] + \sum_{k = 1}^{n} [1]

= 3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{2} + 3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k + n

\Rightarrow

3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = {(n + 1)}^{3} - 1 - 3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k - n

3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = {(n + 1)}^{3} - 1 - 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot n \cdot (n + 1) - n

3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = n^{3} + 3 \cdot n^{2} + 3 \cdot n + 1 - 1 - \frac{3}{2} \cdot (n^{2} + n) - n

3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = n^{3} + 3 \cdot n^{2} + 2 \cdot n - \frac{3}{2} \cdot (n^{2} + n)

3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = n^{3} + 3 \cdot n^{2} + 2 \cdot n - \frac{3}{2} \cdot n^{2} - \frac{3}{2} \cdot n

3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = n^{3} + \frac{3}{2} \cdot n^{2} + \frac{1}{2} \cdot n

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{3} \cdot n^{3} + \frac{1}{2} \cdot n^{2} + \frac{1}{6} \cdot n

ermitteln.

Bitte selber nachrechnen...

Respon

23:34 Uhr, 04.02.2016

Oder allgemeiner Ansatz:

s (n) = \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = a \cdot n^{3} + b \cdot n^{2} + c \cdot n

Die Konstanten

a, b

und

c

sind zu bestimmen.
Es gilt

s (1) = 1; s (2) = 5; s (3) = 14

\Rightarrow

a + b + c = 1

8 \cdot a + 4 \cdot b + 2 \cdot c = 5

27 \cdot a + 9 \cdot b + 3 \cdot c = 14

Gleichungssystem auflösen

\Rightarrow a = \frac{1}{3}; b = \frac{1}{2}; c = \frac{1}{6}

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01:09 Uhr, 05.02.2016

Vielen Dank an euch beide

1288323

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