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g°f ist bijektiv, zeigen dass auch g und f bijekti

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Bijektivität

anonymous

10:34 Uhr, 31.10.2010

Hallo

ich hab folgende aufgabe,
seien

A, B, C

mengen.
und

f : A \to B

g : B \to C

seien Abbildungen. Sei

g

f

bijektiv.
Zu zeigen, dass auch

f

und

g

bijektiv sind.

ich bin noch nicht richtig vertraut mit den Begriffen injektiv surjektiv und bijektiv, habe es aber eigentlich schon verstanden. ich hab so angefangen, dass wenn

g

f

bijektiv ist, dann ist die umkehrabbildung

(g

{f)}^{- 1},

also von

C

nach A.

ich komm jetzt irgendwie nicht mehr weiter, wäre echt super, wenn mir jemand einen kleinen tipp geben könnte.

vielen dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

10:55 Uhr, 31.10.2010

Hallo,

g \circ f

ist ja bijektiv, d.h. also injektiv und surjektiv. Betrachte doch also die zwei Fälle einzeln und probiere so auf die Injektivität und Surjektivität von

f

zuschliessen,

g

ist ja trivialerweise schon bijektiv.

anonymous

11:06 Uhr, 31.10.2010

Ok danke, ich werds so versuchen. noch ne kurze frage, wieso ist

g

denn trivialerweise schon bijektiv?

Alx123 aktiv_icon

11:16 Uhr, 31.10.2010

Ja, wegen der Verkettung

g \circ f

, hier wird ja folgendermaßen abgebildet:

g \circ f : A \to B \to C

Die Verkettung ändert wenn, dann nur den Definitionsbereich von

g

( auch vielleicht den Wertebereich, doch das ist jetzt nicht wichtig ). Es gilt hier:

g : f (B) \to C

und da die Verkettung bijektiv ist, heisst das nichts anderes als das

g

mit dem Definitionsbereich

f (B)

natürlich auch bijektiv ist.

anonymous

12:52 Uhr, 31.10.2010

also ich hab jetzt so angefangen, dass ich von g°f surjektiv ausgehe, und dann versuche auf

f

und

g

surjektiv zu kommen.

g°f ist ja die abbildung

A \to B \to C

nach vorraussetzung ist die abbildung also surjektiv

g

surjektiv hieße ja zu jedem

c \in C

gibt es ein

b \in B

mit

g (b) = c

sei nun

c

beliebig. es gibt ein

a \in A

mit

g (f (a)) = c

und

b \in B

mit

g (b) = c,

wobei

b

f (a)

wäre ?!

hab ich damit jetzt was bewiesen?

Alx123 aktiv_icon

13:33 Uhr, 31.10.2010

Eigentlich nicht viel, ich merke gerade, das war keine gute Idee das so in zwei Fälle aufzuteilen, sorry. Man muss die Bijektivität von

g \circ f

vorausetzen um zuzeigen das

f

surjektiv ist. Doch so wie du es gemacht hast ist es schon richtig, jetzt muss man nur weiter begründen warum

f

surjektiv sein sollte.
Da es ja wegen der Surjektivität für alle

c

ein

a \in A

mit

c = g (f (a))

gibt und

g \circ f

auch noch bijektiv ist, existiert die bijektive Umkehrabbildung

g^{- 1}

mit:

g^{- 1} : C \to f (A) = B

das heisst ja letztendlich das es auch zujedem

b \in B

ein

a \in A

gibt mit

b = f (a)

anonymous

15:17 Uhr, 31.10.2010

erstmal vielen dank alx123, das hat mir schon echt weitergeholfen.
aber irgendwie hab ich jetzt den faden verloren.
also ich gehe von g°f bijektiv aus, und zeige dann

f

und

g

bijektiv. (also surjektiv und injektiv) das zeige ich aber getrennt? oder zeige ich gleich

f

und

g

bijektiv?
gerade haben wir ja mit surjektivität angefangen.
wie muss ich dass denn dann nachher korrekt aufschreiben?
bin jetzt irgendwie verwirrt.
bitte schritt für schritt, bin gerade langsam im kopf :-P)

anonymous

15:35 Uhr, 31.10.2010

vielen vielen dank an den menschen, der die geduld mit mir hat es nochmal zu erklären :-)

hagman aktiv_icon

15:43 Uhr, 31.10.2010

Bist du überhaupt sicher, dass die Aufgabenstellung so stimmt?
Wenn

g \circ f

bijektiv ist, braucht weder

f

noch

g

bijektiv zu sein.
Beispiel:

f : ℕ_{0} \to ℤ, x \mapsto x

und

g : ℤ \to ℕ_{0}, x \mapsto | x |

Dagegen gilt: Wenn

g \circ f

injektiv ist, ist

f

injektiv; und wenn

g \circ f

surjektiv ist, ist

g

surjektiv. Mehr nicht.

Alx123 aktiv_icon

15:47 Uhr, 31.10.2010

Also erstmal, ist hoffentlich jetzt klar das wegen der Bijektivität von

g \circ f

nur noch

f

auf Bijektivität untersucht werden muss.

Also da

g \circ f

bijektiv, existiert die ebenfalls bijektive UmkehrFunktion

g^{- 1}

mit:

g^{- 1} : C \to f (A) = B

d.h. einfach das es eben zu jedem

c \in C

ein

b \in B

gibt mit

c = g (b) = g (f (a))

. Aber so das auch alle

f (a)

einmal getroffen werden ( wegen Bijektivität ). Da aber man in die Verkettung

a \in A

einsetzt heisst das ( wie oben schon geschrieben) , dass es zu jedem

b \in B

ein

a \in A

gibt mit

b = f (a)

. f ist also surjektiv.

Da natürlich auch gilt:

a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow g (f (a_{1})) \neq g (f (a_{2}))

folgt auch hieraus sofort die Injektivität von

f

weil wenn gelten würde:

f (a_{1}) = f (a_{2})

dann hätte ja

g

für ein Argument zwei verschiedene Funktionswerte, das geht ja nicht, da

g

eine Funktion ist. Also muss

f

auch injektiv sein.

edit:
Stimmt. Wo habe ich denn Fehler gemacht?

@Sonja12
War das zufälligerweise so gemeint das du aus der Bijektivität von

f

und

g

, die Bijektivität von

g \circ f

zeigen sollst.

anonymous

16:12 Uhr, 31.10.2010

also die vollständige aufgabe lautete so:

seien

A, B, C, D

Mengen und

f : A \to B, g : B \to C, h : C \to D

Abbildungen.

Seien g°f und h°g bijektiv, zeigen sie, dass dann auch

f, g

und

h

bijektiv. h°g hab ich weggelassen, da das dann ja gleich wie der beweis für g°f geht.

ihr meint also die aufgabenstellung ist falschrum gestellt?!

Alx123 aktiv_icon

16:27 Uhr, 31.10.2010

Ja, diese Aufgabenstellung ist nicht mehr gleich mit der von oben. Ich weiss schon was ich falsch gemacht habe.Es existiert ja nur die bijektive Umkehrfunktion der Verkettung, die die ich oben benutzt habe muss ja nicht mehr bijektiv sein.

Jaja, als ich das oben zum erstenmal geschrieben habe, habe ich noch kurz darüber nachgedacht ob unter der Vorausetzung das die drei Mengen endlich sind, sie bei dieser Verkettung alle gleichgroß sein müssen.

Über die neue Aufgabenstellung muss ich mir noch gedanken machen.

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