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g-adisches Ziffernsystem

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

leann aktiv_icon

14:04 Uhr, 19.12.2011

Aufgabe:

Hier sind vier rationale Zahlen in periodischen Kommadarstellungen im g-adischen
Ziffernsystem;

g

ist dabei jeweils als Index angegeben:

1011, {\bar{101}}_{2} = 1011; 101101101 {...}_{2}

221, {\bar{20}}_{3}

41,3 {\bar{24}}_{5} = 41,3242424 {...}_{5}

32,6 {\bar{1}}_{7}

Schreiben Sie sie ins Dezimalsystem um, als gemeinen Bruch oder als Dezimalbruch.

Gerd30.1 aktiv_icon

14:14 Uhr, 19.12.2011

1011, {\bar{101}}_{2} = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} + \frac{1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}}{1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}} = 11 \frac{5}{7}

leann aktiv_icon

16:22 Uhr, 19.12.2011

Vielen Dank schon einmal.
der erste Schritt ist mir einleutend.
Wie kommt man aber auf den Bruch?

Lg

Gerd30.1 aktiv_icon

16:35 Uhr, 19.12.2011

1011, {\bar{101}}_{2} = 1011_{2} + \frac{101_{2}}{111_{2}}

und die letzte Aufgabe:

32,6 {\bar{1}}_{7} = \frac{1}{7} \cdot 326, {\bar{1}}_{7} = \frac{1}{7} \cdot (3 \cdot 7^{2} + 2 \cdot 7 + 6 + \frac{1}{6}) =

\frac{1}{7} \cdot (\frac{3 \cdot 7^{2} \cdot 6 + 2 \cdot 7 \cdot 6 + 6 \cdot 6 + 1}{6}) = \frac{1003}{42} = 23 \frac{37}{42}

leann aktiv_icon

12:55 Uhr, 20.12.2011

Okay.

Ich verstehe nur noch nicht,wie ich

z . b

. bei a auf die Zahl im Nenner

1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}

komme.

hagman aktiv_icon

14:09 Uhr, 20.12.2011

So wie im Zehnersystem beispielsweise

\frac{1}{99999} = 0, \bar{00001}

ist, gilt allgemein

\frac{1}{g^{n} - 1} = 0, {\bar{00 ... 01}}_{g},

wobei die Periode die Länge

n

hat.
Um das einzusehen, beachte, dass

g^{n} \cdot 0, {\bar{00 ... 01}}_{g =} 1, {\bar{00 ... 01}}_{g =} 1 + 0, {\bar{00 ... 01}}_{g},

also

(g^{n} - 1) \cdot 0, {\bar{00 ... 01}}_{g =} 1

Gerd30.1 aktiv_icon

14:51 Uhr, 20.12.2011

im Zehnersystem ist doch

z . B

0, \bar{123} = \frac{123}{999} = \frac{1 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}}{9 \cdot 10^{2} + 9 \cdot 10^{1} + 9 \cdot 10^{0}}

. entsprechend gilt
im g-adischen System

z . B

0, {\bar{123}}_{g =} \frac{1 \cdot g^{2} + 2 \cdot g^{1} + 3 \cdot g^{0}}{(g - 1) \cdot g^{2} + (g - 1) \cdot g^{1} + (g - 1) \cdot g^{0}},

also
im 2-adischen System

0, \bar{101} = \frac{1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}}{1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}}

wenn du mehr wissen willst, dann www.gerdware.de

leann aktiv_icon

18:25 Uhr, 20.12.2011

Ahh!
Vielen lieben Dank,jetzt habe ich es verstanden :-).
Wäre dies bei

221, {\bar{20}}_{3} = 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{0} + \frac{2 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1}}{1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1}} = 25 \frac{4}{3}

michaL aktiv_icon

18:38 Uhr, 20.12.2011

Hallo,

> Wäre dies bei
>

221, {\bar{20}}_{3} = 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{0} + \frac{2 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1}}{1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1}} = 25 \frac{4}{3}

?

Nein. Rechne doch mal nach. Ich befürchte, du hast immer noch nicht die Grundlage verstanden.
Wieso (z.b.) verwendest du im triadischen System die Zahl 2 als Basis im Nenner?

Mfg Michael

leann aktiv_icon

19:34 Uhr, 20.12.2011

wenn ich hierbei bei dem Bruch die 2 als Basis gegen eine 3 tausche kommt:

25 \frac{3}{4}

raus. stimmt das?

michaL aktiv_icon

19:52 Uhr, 20.12.2011

Hallo,

sieht schon besser aus. Nicht nur die Basis musste geändert werden. Im Nenner steht so etwas wie

(g - 1) \cdot g^{n}

.

Mfg Michael

PS: Eigentlich ist alles zum Dezimalsystem analog! Vielleicht hilft es dir, die Dinge dort noch einmal unter die Lupe zu nehmen. Beachte, dass das Anfügen einer Null im Dezimal das gleiche bedeutet, wie mit 10 zu multiplizieren.

Allgemein kann man periodische Brüche (in egal welchem System) mit folgender Methode umwandeln (früher hat man sowas sogar mal in der Schule gelernt...):

......

221, {\bar{20}}_{3} = x

22120, {\bar{20}}_{3} = 10 0_{3} \cdot x

bzw:

22120, {\bar{20}}_{3} = 10 0_{3} \cdot x

......

221, {\bar{20}}_{3} = x

Ergo:

8 x = 2 2_{3} \cdot x = 2112 2_{3} \Rightarrow x = 221, {\bar{20}}_{3} = \frac{2112 2_{3}}{2 2_{3}}

EDIT: Fehler korrigiert

leann aktiv_icon

21:13 Uhr, 20.12.2011

"Im Zähler steht so etwas wie (g−1)⋅g^n ".

Ich dachte das betrifft den Nenner und nicht den Zähler

michaL aktiv_icon

21:23 Uhr, 20.12.2011

Hallo,

ja, Recht hast du. Ich habe oben den Fehler korrigiert.

Mfg MIchael

leann aktiv_icon

21:28 Uhr, 20.12.2011

Okay. Dann dürfte mein oben genanntes Ergebnis von

25 \frac{3}{4}

doch stimmen,oder?

Wie ist das bei

41,3 {\bar{24}}_{5}

? Weil hier nach dem Komma ja nicht alles als Periode steht.

michaL aktiv_icon

21:42 Uhr, 20.12.2011

Hallo,

der Trick ist immer der gleiche: durch Multiplikation zwei Zahlen verschaffen, die HINTER dem Komma völlig gleich sind. Hier also so:

41, 3 {\bar{24}}_{5} = x

Daraus folgt:

100 0_{5} \cdot x = 41324, {\bar{24}}_{5}

1 0_{5} \cdot x = 413, {\bar{24}}_{5}

Und so weiter.

Mfg Michael

eli88 aktiv_icon

09:42 Uhr, 21.12.2011

$23 \frac{2 \times 3^{1} + 0 \times 3^{0}}{2 \times 3^{1} + 2 \times 3^{0}} = 23 \frac{7}{8}$

Also, ich komme auf das obige Ergebnis. Stimmt das?

eli88 aktiv_icon

10:09 Uhr, 21.12.2011

$25 \frac{3}{4}$ stimmt doch. Ich habe es gerade durch einen Rechner gejagt. Ich weiß nur noch nicht warum.

eli88 aktiv_icon

10:55 Uhr, 21.12.2011

$41, 3 \bar{24_{5}} = \frac{1}{5} (4 \times 5^{2} + 1 \times 5^{1} + 3 \times 5^{0} + \frac{1}{3}) = \frac{325}{15} = 21 \frac{2}{3}$

habe ich ausgerechnet.

Assenav

11:20 Uhr, 21.12.2011

kann man diese sachen nich auch mit der geometrischen reihe lösen? ich weiß nur noch nicht genau wie... komm nicht auf den expronenten.
weiß jmd was ich meine?

michaL aktiv_icon

12:53 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

ja, das kann man auch mit einer geometrischen Reihe machen.
Das Problem ist nicht der Exponent (der variiert ja zwischen -1 und

- \infty

.
Das Problem ist eher die Basis.

Es gilt:

41, 3 {\bar{24}}_{5} = 41, 3_{5} + 0, 0 {\bar{24}}_{5} = 41, 3_{5} + \frac{1}{1 0_{5}} \cdot 0, {\bar{24}}_{5} = 41, 3_{5} + \frac{2 4_{5}}{1 0_{5}} \cdot 0, {\bar{01}}_{5}

= 41, 3_{5} + \frac{2 4_{5}}{1 0_{5}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} (0, 0 1_{5})^{k}

Den ersten Teil erledigt man auf herkömmliche Weise, der zweite ist - wie gesagt - eine geometrische Reihe.

Mfg Michael

EDIT: Basis-Mischmasch beseitigt

Assenav

18:08 Uhr, 21.12.2011

wie kommst du denn darauf die

0,24

(periode) in den bruch umzuwandeln mit geteilt durch 10?? und dann bleibt

0,01

übrig??
und wieso bist du dann plötzlich im 3er-system?

michaL aktiv_icon

18:13 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

äh, ich weiß gar nicht, was ich jetzt darauf antworten soll.

Die

1 0_{5}

im Nenner stammen daher, weil die Zahl

0, 0 {\bar{24}}_{5}

nicht rein-periodisch ist, sondern vielmehr eine Vorperiode der Länge 1 hat (eben die erste Null nach dem Komma).
Und, dass

1 0_{5} \cdot 0, 0 {\bar{24}}_{5} = 0, {\bar{24}}_{5}

gilt, ist doch wohl klar, oder?

Mfg Michael

EDIT: Basis-Fehler beseitigt

Assenav

18:37 Uhr, 21.12.2011

ja schon aber wieso bist du denn im dreiersystem? und nicht im 5er oder dann später im dezimalsystem?

michaL aktiv_icon

19:09 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

ja, auch da muss ich um Entschuldigung bitten. Es ist leider nicht so einfach, auf diese Art den Überblick zu behalten (besonders, wenn man der Meinung ist, dass man sich sicher ist). Später habe ich einfach per Copy&Paste gearbeitet.

Ich habe in meinen beiden obigen Posts die Basis vereinheitlicht. An den grundsätzlichen Dingen ändert das aber (offenbar) nichts!

Mfg Michael

Assenav

19:20 Uhr, 21.12.2011

achso.. ok danke

=)

aber mach ich dann bei

0,101

(periode?) komm ich dann eventuell auch am ende auf die

0,01

? weil ich dann einfach weiterrechnen kann.

michaL aktiv_icon

19:23 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

nein. Es gilt:

0, {\bar{101}}_{g} = 10 1_{g} \cdot 0, {\bar{001}}_{g}

, egal in welchem System!

Deshalb: Schau dir (ruhig noch mal im Dezimalsystem) an, wie man mit periodischen Zahlen rechnet!

Mfg Michael

leann aktiv_icon

21:35 Uhr, 21.12.2011

Was habt ihr nun bei

41,3 {\bar{24}}_{5}

raus?

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