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angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

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18:52 Uhr, 23.09.2013

Hallo mal wieder

Ich habe folgende Aufgabe in der Mechanik:

Zeige, dass die Galilei-Transformationen:

x' = R x + v t + b

t' = (\frac{+}{-}) t + a

(R \in O (3), v, b \in ℝ^{3}, a \in ℝ)

wobei

O (3)

die Menge aller Rotationsmatrizen im

ℝ^{3}

ist wenn ich das recht verstehe.

v

ist im Prinzip als eine Geschwindigkeit zu verstehen und

b

würde einfach eine normale Translation bewirken.

eine Gruppe bilden.

Bei mir scheitert es nun am Verständnis für den Begriff "Gruppe". In der Linearen Algebra hatte das etwas mit Neutralelementen und Inversen zu tun, wenn ich mich recht erinnere. Was ist in diesem Fall mit Gruppe gemeint und wie geht man vor, wenn man so etwas zeigen muss? Ich hoffe jemand kann mir da etwas helfen.

Sina86

00:02 Uhr, 24.09.2013

Hi,

du hast mit deiner Interpretation für

v

und

b

Recht. Genauso mit der Gruppe. Das ist eine Menge mit einer inneren Verknüpfung, so dass das Assoziativgesetz gilt, und ein neutrales und inverses Element existiert.

Nun muss man sich Fragen, was ist hier die betrachtete Menge. Das sind die Galilei-Trafos und das sind natürlich Funktionen der Form

G : ℝ^{4} \to ℝ^{4}, (x, t) \mapsto (R x + v t + b, \pm t + a)

Nun muss man sich noch Fragen was die innere Verknüpfung ist, und das ist dann die offensichtliche, nämlich die Hintereinanderausführung. Hier ist natürlich noch nicht klar, ob das eine INNERE Verknüpfung ist. Die Abgeschlossenheit der Verknüpfung muss man erst noch einmal zeigen, d.h., wenn

G

und

H

Galilei-Trafos sind, dann muss auch

G \circ H

eine Galilei-Trafo sein.

Der erste Schritt wäre jetzt erst mal zu überlgen, was denn wohl das neutrale Element ist.

Beste Grüße
Sina

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22:31 Uhr, 24.09.2013

hallo

Vielen Dank für deine Antwort.

Also ich denke ich gehe das mal Schritt für Schritt an. Also das Neutralelement ist jasjenige Argument für

(x, t),

dass unter der Verknüpfung (hier also die Transformation) wieder auf sich selber abgebildet wird oder? In desem Fall würde das für den Orstvektor

x

ja bedeuten:

x = R x + v t + b \Rightarrow x = \frac{v t + b}{1 - R}

t = R x + v t + b \Rightarrow t = \frac{v t + b}{1 - v}

das wäre dann das Neutralelement oder?

Bei der zweiten Transformation sehe ich gerade keine Lösung für ein Neutrales Element, da sich ja

t

und

t'

immer durch eine beliebige Konstante unterscheiden und deshalb nur dann gleich sind, wenn

a = 0

ist. Dann wäre aber jedes

t

ein neutrales Element, weil dann lautet die Transformation ja einfach

t' = t

.

Bevor ich irgendwelche weitere Kunststücke versuche, war das in etwa so gedacht?

Sina86

22:46 Uhr, 24.09.2013

Moment,

R

ist eine Matrix,

v

ist ein Vektor,

1

ist eine Zahl. Du kannst weder eine Zahl mit einer Matrix addieren/subtrahieren, noch kannst du Vektoren durch Matrizen teilen usw.

Deine Idee vom neutralem Element ist ganz richtig (bis auf die Begrifflichkeiten, aber ok). Aber es ist viel simpler. Wie musst du denn die Matrix

R

und die Vektoren

v, b

bzw. die Zahl

a

(und das Vorzeichen vor

t

) wählen, damit

(R x + v t + b, \pm t + a) = (x, t)

ist? (die offensichtliche Lösung ist die einzig richtige!)

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17:11 Uhr, 25.09.2013

Ach natürlich, jetzt war ich etwas voreilig. Und ausserdem ist das Neutralelement doch auch nicht ein Vektor

x = {(x_{1}, x_{2}, x_{3})}^{T}

der unter der Transformation auf sich selbst abgebildet wird, sondern diejenige Transformation mit konkreten Werten für

R, v

und

b

unter denen jeder beliebige Vektor

x

auf sich selbst abgebildet wird oder?

das würde dann heissen, das

R

ganz einfach die

ℝ^{3} x ℝ^{3}

Einheitsmatrix sein müsste,

v

der Nullvektor und

b

auch oder? Dann gilt nämlich:

x' = (\begin{matrix} 1,0,0 \\ 0,1,0 \\ 0,0,1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) t + 0 = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = x

Beim Inversen bin ich mir nicht ganz sicher. Das wären dann doch Werte für

R, v

und

b

unter denen ein Vektor

x

auf das Neutralelement abgebildet wird oder?

Zur Assoziativität: das bedeutet ja, dass zwei beliebige Galileitransformationen

1) x_{1}' = R_{1} x + v_{1} t + a_{1}

2) x_{2}' = R_{2} x + v_{2} t + a_{2}

beide auf einen Vektor

x

angewandt immer das selbe Ergebnis ergeben egal ob man zuerst

1)

und dann

2)

oder umgekehrt transformiert.

Durch Einsetzen von

x_{1}

für

x

in der zweiten Transformation erhält man ja:

x_{2}' = R_{2} (R_{1} x + v_{1} t + a_{1}) + v_{2} t + a_{2} =

R_{2} R_{1} x + R_{2} v_{1} t + R_{2} a_{1} + v_{2} t + a_{2} =

R_{2} R_{1} x + (R_{2} v_{1} + v_{2}) t + R_{2} a_{1} + a_{2} =

R_{3} x + v_{3} t + a_{3}

mit

R_{3} = R_{1} R_{2}, v_{3} = R_{2} v_{1} + v_{2}

und

a_{3} = R_{2} a_{1} + a_{2}

jetzt müsste man vermutlich das umgekehrt noch machen und zeigen, dass in beiden Fällen das selbe rauskommt oder?

Sina86

18:08 Uhr, 25.09.2013

"Ach natürlich, jetzt war ich etwas voreilig. Und ausserdem ist das Neutralelement doch auch nicht ein Vektor

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T}

der unter der Transformation auf sich selbst abgebildet wird, sondern diejenige Transformation mit konkreten Werten für

R

v

und

b

unter denen jeder beliebige Vektor x auf sich selbst abgebildet wird oder?"

So, jetzt hast du es verstanden, deswegen hatte ich mich auch über die Begrifflichkeiten gewundert ;-)

Deine Annahme für das neutrale Element ist korrekt. Jetzt ist aber wieder die Frage, was meinst du beim inversen Element? Jeder Vektor

x

soll auf das neutrale Element abgebildet werden? Nun, bedenke, nicht die Vektoren sind die Gruppenelemente, sondern die Transformationen!

Beim Assoziativgesetz hast du das Kommutativgesetz überprüft. Du hast also überprüft, ob für zwei Transformationen

G

und

H

gilt, dass

(G \circ H) (x, t) = (H \circ G) (x, t)

. Das ist bei Galilei-Trafos aber gar nicht der Fall. Du musst überprüfen, dass wenn du drei Trafos

F

G

und

H

hast, dass

((F \circ G) \circ H) (x, t) = (F \circ (G \circ H)) (x, t)

für alle

(x, t)

gilt.

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19:38 Uhr, 25.09.2013

Stimmt ja, ich sollte mich etwas mehr konzentrieren :-P)

Also das inverse Element ist demnach die Trafo

x' (x, t)

unter der jede andere Trafo

x'' (x, t)

auf das Neutralelement abgebildet wird also auf:

x′'=

(\begin{matrix} 1,0,0 \\ 0,1,0 \\ 0,0,1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) t + 0 = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

das ist doch die Definition vom Inversen, dass die Verknüpfung eines Elementes mit dem Inversen das Neutralelement ergibt.

Oke also Assoziativgesetz hab ich folgendermassen gezeigt:

G : x' = R_{1} x + v_{1} t + b

F : x' = R_{2} x + v_{2} t + b

H : x' = R_{3} x + v_{3} t + b

F \circ G = G (F (x)) = ... = R_{1} R_{2} x + (R_{2} v_{1} + v_{2}) t + R_{2} b_{1} + b_{2}

(F \circ G) \circ H = H (G (F (x))) = ... = R_{1} R_{2} R_{3} x + (R_{3} R_{2} v_{1} + R_{3} v_{2} + v_{3}) t + R_{3} R_{2} b_{1} + R_{3} b_{2} + b_{3}

analgo für

F \circ (G \circ H)

. man erhält dann tatsächlich den selben Ausdruck. Aber müsste man nicht auch noch die Transformation

t' = t + a

verwenden. Also

(F \circ G) (x, t)

usw. und nicht nur von x? Und wie finde ich das Inverse? Also ich würde mal sagen für eine gegebene Trafo

G_{1} : x' = R_{1} x + v_{1} t + b_{1}

muss auf jedenfall beim Inversen

G_{2} = G_{1}^{- 1} : x' = R_{2} x + v_{2} t + b_{2}

gelten, dass

R_{2} = R_{1}^{- 1}

oder? ausserdem müsste ja gelten, dass:

R_{2} v_{1} + v_{2} = 0 \Rightarrow v_{2} = - R_{2} v_{1} = - R_{1}^{- 1} v_{1}

und:

R_{2} b_{1} + b_{2} = 0 \Rightarrow b_{2} = - R_{2} b_{1} = - R_{1}^{- 1} b_{1}

Die Trafo

G_{2} = G_{1}^{- 1}

die jede beliebige Trafo

G

auf das Neutralelement abbildet lautet also:

G_{2} = G_{1}^{- 1} : x' = R_{1}^{- 1} x - R_{1}^{- 1} v_{1} t - R_{1}^{- 1} b_{1}

Kann das sein?

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