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geometrische Wahrscheinlichkeit
Universität / Fachhochschule
Tags: Statistik
 
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Hallo!!! Kann mir jemand bei diesen Fragen helfen: 1.) Zwei Leute verabreden sich zwischen 0 und 1 Uhr an einem Ort. Sie treffen folgende Regel: Jeder wartet 6 Minuten 0der max. bis 1 Uhr und geht wenn der andere in dieser zeit nicht erscheint. Wie groß ist die W. sich zu treffen? 2.) Ein Glücksrad besteht aus drei verschiedenfarbigen Sektoren, von denen mind. zwei gleich groß sind. Wie müssen die winkel gewählt werden,damit die W. dafür, dass man bei zweimaligem Drehen beide Male dieselbe Farbe erhält, mind. 50% ist? |
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Hallo, zeichne Dir mal ein Quadrat. Links unten schreibst Du "0 Uhr" ran, rechst unten und links oben schreibst Du "1 Uhr" ran. Jeder Punkt dieses Quadrates entspricht der Kommen-Zeit der Person A (waagerechte Einteilung) und einer Kommen-Zeit der Person B (senkrechte Einteilung). Die Diagonale (die Du jetzt von links unten nach rechts oben einzeichnest) kennzeichnet die Menge aller Zeiptpunkte, zu denen beide Personen gleichzeitig erscheinen. Wie sieht der "Korridor" aus, daß die beiden sich treffen. Oberhalb und Unterhalb der Diagonale zeichnest Du jeweils eine Parallele ein. die die beiden Zeitachsen (untere und linke Kante des Quadrats) jeweils in einem Punkt schneidet, der 6 Minuten bedeutet, d.h. bei einem Zehntel der Kantenlänge. Wie kannst Du nun die Punkte zwischen den beiden Diagonalen interpretieren? Die Punkte zwischen Diagonale und oberer Parallele sind die Punkte, bei denen die Person A zuerst und zu dem Zeitpunkt kommt, der zu der Zeit auf der unteren Kante paßt. Die Person B kann dann in den 6 Minuten danach erscheinen, die späteren Zeitpunkte sind für die Person B in Richtung nach oben. Die Punkte zwischen Diagonale und unterer Parallele sind die Punkte, bei denen die Person B zuerst und zu dem Zeitpunkt kommt, der zu der Zeit auf der linken Kante paßt. Die Person A kann dann in den 6 Minuten danach erscheinen, die späteren Zeitpunkte sind für die Person A in Richtung nach rechts. Die Wahrscheinlichkeit, daß sich beide treffen, ist gleich der Fläche zwischen den Diagonalen im Verhältnis zur Gesamtfläche. Aber die Berechnung ist in diesem Falle einfach. Das verhältnis dieser beiden Flächen ist ja gleich den Verhältnis der Fläche zwischen einer Parallelen und der Diagonalen zu der Fläche des Dreieck ober- oder unterhalb der Diagonalen. Du hast von der Seitenkante des Dreiecks zunächst 1/10 abgetragen und durch diesen Punkt die Parallele gezeichnet. Diese Parallele kommt (nach Strahlensatz) oben auch bei 1/10 wieder an. Das rechtwinklige Dreieck, welches zu den Zeitpunkten gehört, zu denen sich die beiden nicht treffen, ist also 9/10 so hoch und 9/10 so breit und damit 81/100 so groß in der Fläche. Die restlichen 19/100 stecken also in unserem Streifen zwischen Parallele und Diagonale. Das sind also 19%. 2) Die Sektorengröße (in Prozent vom Umfang) entspricht der Wahrscheinlichkeit, diesen Sektor zu treffen. Die Sektoren seien A, B und C. Die gleichgroßen Sektoren sind die Sektoren B und C. Die Größe des Sektors A sei a (in Prozent bzw. als Zahl mit 0<a<1, eigentlich jeweils "<=", aber das wäre ja dann der Trivialfall, bei dem am Ende keine 3 Farben mehr zu sehen ist, also aus Vernunftgründen auszuschließen). Dann gilt: P(A) = a P(B) = P(C) = (1 - a)/2 Was sind die gesuchten Ereignisse: 2 mal A, zweimal B und zweimal C. Also müssen wir rechnen: P(A)*P(A) + P(B)*P(B) + P(C)*P(C) >= 1/2 a^2 + ((1 - a)/2)^2 + ((1 - a)/2)^2 >= 1/2 a^2 + (1 - a)^2/4 + (1 - a)^2/4 >= 1/2 a^2 + (1 - a)^2/2 >= 1/2 a^2 + (1 - 2*a + a^2)/2 >= 1/2 a^2 + 1/2 - a + a^2/2 >= 1/2 3/2*a^2 - a >= 0 ; zur Erinnerung: a ist größer Null, also darf man dividieren!!! 3/2*a - 1 >= 0 3/2*a >= 1 a >= 2/3 Der Sektor, der nicht gleichgroß zu einem anderen Sektor ist, muß also mehr als 2/3 des Umfangs umfassen, der dazugehörige Winkel ist größer als 240°. Die beiden restlichen Sektoren bedecken jeweils die Hälfte des Rests, haben also Winkel von weniger als 60°. |
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| Vielen vielen Dank für deine Antwort. Bist echt meine letzte Rettung |
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