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geometrische Wahrscheinlichkeit
Universität / Fachhochschule
Wahrscheinlichkeitsmaß
Zufallsvariablen
Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen
 
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Im Abstand b >0 von einer Geraden (die wir mit der reellen Achse identifizieren) befindet sich senkrecht ̈uber dem Nullpunkt 0 eine Glühbirne. Diese strahltgleichmäßig in alle Richtungen, die die Gerade in irgendeinem Punkt treffen. Es bezeichne X den Auftreffpunkt eines (zufälligen) Lichtstrahls auf der Geraden. Zeigen Sie, dass X die Cauchy-VerteilungCau(0,b) hat. Meine Frage wäre was wäre der Grundraum zu aller erst ? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Eine Verteilung ist eindeutig bestimmt durch ihre Verteilungsfunktion, also durch die W-keiten für alle reelle . Der zugrunde liegende Wahrscheinlickeitsraum ist dabei nicht eindeutig (und deshalb auch nicht explizit bekannt) und spielt eigentlich fast keine Rolle. |
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Richtig, die Wahl des Grundraums ist eine Ermessensfrage - eine zumindest naheliegende Wahl für die vorliegende Problemstellung wäre , sowie das stetige Gleichverteilungsmaß auf diesem . Bei dieser Wahl repräsentiert dann den Winkel des Lichtstrahls bezogen auf die Lotgerade. |
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Verstehe, Mein Ansatz war folgend, ich habe eine "Punkt" Glühbirne über eine Gerade senkrecht, wir wissen, dass der Abstand also die Senkrechte zur Gerade 90 Grad ergibt bzw.rechter Winkel. meine Idee wäre die Hypotenuse zu berechnen in dem Falle aber weiß nicht ob es Sinn macht. mfg |
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Lichtquelle im Punkt , der Ursprung sowie Auftreffpunkt des Lichtstrahls auf der reellen Achse bilden ein rechtwinkliges Dreieck, mit rechtem Winkel beim Ursprung und Winkel bei der Lichtquelle (zumindest gemäß meinem Modellvorschlag). Das bedeutet unmittelbar . |
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okay verstehe wie leite ich davon die Caucchy Verteilung ab ? Ich habe X(w) = tang(w)*b als den Auftritpunkt ich habe den Grundraum mit Winkeln P(X=x) = P(tang(w)*b=x) = P(w = arctan(x/b)) ? |
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ist stetig verteilt, da bringt eine Wahrscheinlichkeit gar nichts, denn die ist stets gleich Null. Halte dich besser an die Empfehlung von DrBoogie und berechne . |
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ja habe ich auch gemacht auf papier soeben, aber komme da nicht weiter. aber da steht ja irgendwas mit gleichmässig verteilt ? denkst du einsetzten in die gleichverteilung wäre vorteilhaft ? |
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Angesichts der strengen Monotonie der Tangensfunktion auf kann man umformen . Ja, und jetzt die Verteilungsfunktion jener stetigen Gleichverteilung auf verwenden. |
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Okay dann hätte ich ein Integral und müsste die Stammfunktion bilden und so müsste ich die Cauchy Verteilung erhalten ? |
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Warum so kompliziert? Die Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall ist schlicht für . Damit folgt sofort . |
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okay habe es, ja es ist die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung |
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Wie würde man das im diskreten Fall machen ? mit der Zähldichte P(X=x)? |
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Wie meinst du das? Eine diskrete Verteilung für gibt es nur dann, wenn du auch nur eine diskrete Winkelverteilung für die Strahlwinkel vorliegen hast. Welche soll das hier konkret sein? Wie auch immer, an sich ist das sehr einfach: Liegt auf dem Grundraum oben die diskrete Verteilung vor, dann überträgt sich das direkt auf gemäß , fertig. |
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danke :-))) |
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