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geschlossene Form einer Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, geschlossene Form, Potenzreihe, Reihen

Amana83 aktiv_icon

11:29 Uhr, 12.03.2011

Hallo,

Ich möchte die geschlossene Form der folgenden Potenzreihe angeben:

\sum {(- \frac{4}{9})}^{n} \cdot x^{2 n}

(für

n

von 1 bis unendlich)

Ich habe das umgeformt in:

\sum {((- \frac{4}{9}) \cdot x^{2})}^{n}

aber weiter weiß ich nicht.
Ich müsste die geschlossene Form irgendwie sehen, ein allgemeines Vorgehen gibt es nicht, oder?

Musterlösung:

- 1 + \frac{9}{9 + 4 x^{2}}

Wie komme ich darauf?

Grüße
Kerstin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

11:53 Uhr, 12.03.2011

Hallo,
ein allgemeines Verfahren gibt es hierfür nicht, die Reihe kann man auf die geometrische Reihe zurückführen.

pepe1 aktiv_icon

13:34 Uhr, 12.03.2011

geom. Reihe:

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n} = \frac{1}{1 - q}

hier:

q = - \frac{4}{9} \cdot x^{2}

und Summe beginnt bei

n = 1

Term für

n = 0 : a_{0} = 1

Wir ziehen also von der bei

n = 0

beginnenden Reihe den Wert

a_{0} = 1

ab.

\Rightarrow

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{4}{9})}^{n} \cdot x^{2 \cdot n} = \frac{1}{1 + (\frac{4}{9} \cdot x^{2})} - 1 = \frac{9}{9 + 4 \cdot x^{2}} - 1

MfG

Amana83 aktiv_icon

10:55 Uhr, 13.03.2011

Vielen Dank euch beiden.

Grüße

Kerstin

866546

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