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ggT von komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Teilbarkeit

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16:36 Uhr, 07.04.2019

Hallo,
ich soll den ggT(1-i,4i+5) (=ggT(a,b)) berechnen.
Ich bin nun so weit gekommen:

\frac{1 - i}{5 + 4 i} = \frac{(1 - i) \cdot (5 - 4 i)}{(5 + 4 i) \cdot (5 - 4 i)} = \frac{5 - 5 i - 4 i + 4 i^{2}}{25 - 16 i^{2}}

= \frac{1 - 9 i}{41} = \frac{1}{41} - \frac{9}{41} \cdot i

.

Nun hab ich in einem Skript online gelesen, dass man diesen Wert mit den ganzen Gaußschen Zahlen approximieren kann/soll um

q

zu ermitteln für

a = q \cdot b + r

In der Vorlesung haben wir das Problem in einem Koordinatensystem betrachtet, mit dem Realteil und Imaginärteil als Achsen.
Das hieße mein Realteil liegt zwischen 0 und 1 und der Imaginärteil zwischen

- 1

un 0. Dann hätte ich 4 Möglichkeiten

q

zu wählen, nämlich

0,1, - i

und

1 - i

oder sehe ich das falsch?
Meine Frage wäre nun, ob ich einfach einen dieser Werte, die zur Auswahl stehen, wählen kann oder ob ich noch etwas beachten muss. (also

q = 0

zu wählen fände ich jetzt nicht sinnvoll, aber gibt es noch irgendwelche Kriterien?)

Danach müsste ich doch nur noch

q

in die Formel einsetzen,

r

bestimmen und diesen Prozess, wie im Euklidischen Algorithmus, wiederholen bis der Rest

r = 0

oder eine Einheit ist, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

17:43 Uhr, 07.04.2019

Hallo,
das hast du ungünstig angefangen. Man dividiert sinnvollerweise
die Zahl mit der größeren Norm durch die mit der kleineren Norm;
denn es ist ja

ggT (a, b) = ggT (b, a)

,
also hier

\frac{4 i + 5}{1 - i} = \frac{(4 i + 5) (1 + i)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} i

.
Nun wählst du eine Gausssche Ganzzahl, die am nächsten zu

\frac{1}{2} + \frac{9}{2} i

liegt, z.B.

4 i

.
Dann bekommst du

4 i + 5 = (4 i) (1 - i) + 1

.
Dieser letzte Rest

1

ist dein

ggT

.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

18:11 Uhr, 07.04.2019

Zu deiner Frage, ob du beliebig in deinem Ansatz aus

0, 1, - i

und

1 - i

auswählen darfst: Nein! Du musst einen nächsten(!) Gitterpunkt aus

ℤ + ℤ i

nehmen. Bei dir käme somit nur

0

in Frage,
und dein Euklidischer Algorithmus würde eine "Ehrenrunde drehen".

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18:28 Uhr, 07.04.2019

Danke für die schnelle Antwort!
Genau auf 0 bin ich auch gekommen. Woher weis ich denn was der sozusagen "nächste Punkt" ist, wenn wie eben der Wert

\frac{1}{2} + \frac{9}{2} i

ist? Dann müsste der Punkt dich genau in der Mitte des Kästchens liegen? Bedeutet das, der nächste Punkt ist immer jeweils Re und Im abgerundet in diesem Fall?

ermanus aktiv_icon

18:40 Uhr, 07.04.2019

In einem solchen "unentscheidbaren" Falle, ist jeder nächste Punkt
geeignet:
In meiner Rechnung liegt der Punkt genau in der Mitte einer Zelle,
so dass man jeden Eckpunkt

4 i, 1 + 4 i, 5 i, 1 + 5 i

nehmen kann.
Wenn du z.B.

1 + 4 i

nimmst, dann bekommst du als

ggT

den Wert

i

.
Ist

d = ggT

ein

ggT

, dann auch

\pm d

und

\pm d \cdot i

,
d.h. der

ggT

ist bis auf die Faktoren

1, - 1, i, - i

eindeutig bestimmt.

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19:19 Uhr, 08.04.2019

Ok vielen Dank!

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