Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » ggT(a,b)*kgV(a,b)=a*b - Beweis?

ggT(a,b)kgV(a,b)=ab - Beweis?

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Teilbarkeit

anonymous

12:21 Uhr, 14.03.2010

Hab gerade diesen eigentlich sehr schönen Satz von ggt und kgv vor mir, der besagt, dass:

ggT(a,b)*kgV(a,b)=a*b ... gut der wäre jetzt zu beweisen.

Ich hab mal so angefangen und gesagt:

$k g V (a, b) | a b$ also folgt: $q \cdot k g V (a, b) = a b$ so jetzt ist mir irgendwie klar, dass dieses q sowohl a ALS AUCH b teilen muss. Nur dass kann ich leider nicht zeigen. Wenn mir jemand dabei helfen könnte wäre ich schon fertig...den Rest des Beweises hab ich selber schon geschafft!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

deadmanwalking aktiv_icon

12:38 Uhr, 14.03.2010

also ich kenn den beweis davon über die primfaktorenzerlegung:

sei

a = Π_{p} p^{α_{p}}

und

b = Π_{p} p^{β_{p}}

wobei der index

p

alle Primzahlen meint, und

α_{p}

bzw.

β_{p}

die jeweilige potenz darstellen. dann gilt nämlich:

ggt(a,b)

= Π_{p} p^{γ_{p}},

wobei

γ_{p} = min (α_{p}, β_{p})

für jedes

p

ist und

kgv(a,b)

= Π_{p} p^{δ_{p}},

wobei

δ_{p} = max (α_{p}, β_{p})

für jedes

p

ist.

wenn du ggt*kgv in der form miteinander multiplizierst, kommt genau

Π_{p} p^{α_{p}} \cdot Π_{p} p^{β_{p}},

also

a \cdot b

raus

grüße

edit: zusatz zur primfaktoren darstellung: kommt eine primzahl in der darstellung von a nicht vor, ist das dazugehörige

α_{p} = 0

anonymous

12:41 Uhr, 14.03.2010

also mal danke für den beweis, aber ich hab noch keine Primfaktorzerlegung gehabt und ich würds auch gerne mit meinen (beschränkten) Methoden beweisen :)

deadmanwalking aktiv_icon

12:49 Uhr, 14.03.2010

mir ist gerade was eingefallen:

aus deiner gleichung:

q*kgv(a,b)=a*b, dividier mal durch

b,

dann steht da:

q*kgv(a,b)/b

= a,

also

q | a

(weil kgv ist ein vielfaches, also ist kgv/b eine zahl

u \in ℤ,

also

q \cdot u = a)

selbes in grün mit durch a dividieren

jetzt sieht man, dass

q | a

und

q | b

gilt, jetzt musst du nur noch zeigen dass jeder andere teiler kleiner gleich

q

ist. dann bist du fertig.

falls du das selber schaffst, gut. falls nicht, kann jemand anderer übernehmen? ich muss dringend weg und müsst jetzt selber schnell überlegen. falls auch nicht, überleg ich später :-)

grüße

anonymous

12:59 Uhr, 14.03.2010

AHH! danke...da hatte ich anscheinend wieder Tomaten auf den Augen :) haha Vielen Dank das war ein sehr erleuchtender Tipp!

736471

736457

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?