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hermitische Matrizen

Universität / Fachhochschule

Tags: hermitesch, konjugiert, Matrix, Positiv Definit, transoniert

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13:22 Uhr, 12.06.2014

Guten Tag, ich bearbeite folgende Aufgabe:

Sei A eine invertierbare nxn-Matrix mit Einträgen in

ℂ

.
Zu zeigen:
(i)

{\bar{A}}^{t} \cdot A

ist positiv definit und hermitesch
(ii) Es gibt eine positiv definite hermitesche Matrix

B

mit

B^{2} = {\bar{A}}^{t} \cdot A

(iii) Es gibt eine unitäre Matrix

C,

sodass

A = C \cdot B

Bei

(i)

hab ich

{(\bar{{\bar{A}}^{t} \cdot A})}^{t} = A \cdot {\bar{A}}^{t} = {\bar{A}}^{t} \cdot A,

somit ist

{\bar{A}}^{t} \cdot A

hermitesch.
Wie kann ich nun zeigen, dass

{\bar{A}}^{t} \cdot A

positiv definit ist.
Ich habe in der vohrigen Aufgabe beweisen, dass:
A ist positiv definit

\Leftrightarrow {\bar{z}}^{t} \cdot A \cdot z > 0,

wobei

z \in ℂ^{n}

Hilft mir das in diesem Fall irgendwie weiter?

Bei (ii) und (iii) weiß ich leider überhaupt nicht wie ich ansetzen soll..

Vielen Dank schonmal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

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13:31 Uhr, 12.06.2014

B

positiv definit:

< B x, x >

> 0

für

x \neq 0

.
Für

B = A^{t} A

haben

< A^{t} A x, x > = < A x, A x > \geq 0

. Und wenn

< A x, A x > = 0

, dann

A x = 0

und weil

A

invertierbar

= >

x = 0

. Damit

< A^{t} A x, x >

> 0

für

x \neq 0

.

Was b) und c) angeht, google nach "Wurzel einer Matrix". Ist aber schon ein Stück Theorie, komisch, dass es als Aufgabe konzipiert ist.

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13:45 Uhr, 12.06.2014

Wieso gilt

< {\bar{A}}^{t} \cdot A \cdot x, x > = < A \cdot x, A \cdot x >

?
Kannst du mir das vielleicht kurz erklären?

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13:52 Uhr, 12.06.2014

Das ist eigentlich die Definition von

A^{t}

< A^{t} x, y > = < x, A y >

.

Im Fall von Matrizen checkt man das, indem man das hier ausmultipliziert:

< A^{t} x, y > = (A^{t} x) \cdot y^{t} = x \cdot (A y)^{t} = < x, A y >

.
Also ich meine

A^{t} x

als

(a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . ., . . .)

schreiben usw.
Das werde ich nicht machen. :-)

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15:17 Uhr, 12.06.2014

Alles klar, danke :-)
Hab bei Google nach der wurzel von Matrizen gesucht, finde jedoch nichts brauchbares um die Aufgabe zu lösen..
Kannst du mir vielleicht helfen wie ich den Beweis anfangen kann?

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15:24 Uhr, 12.06.2014

Die Idee ist, die Matrix zu diagonalisieren und in der Diagonalmatrix die Wurzeln der Werte auf der Diagonale zu nehmen.
Also

A = Q D Q^{t}

mit

D

- Diagonalmatrix

= >

\sqrt{A} = Q \sqrt{D} Q^{t}

, wobei

\sqrt{D}

die Diagonalmatrix mit Wurzeln der Werte von

D

auf der Diagonale. (

Q

ist eine orthogonale Matrix)-

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15:47 Uhr, 12.06.2014

Es wurde in der Vorlesung nie gezeigt, dass man Matrizen auf diese Weise diagonalisieren kann..
Gibt es villeicht noch eine andere möglichkeit, zu zeigen, dass eine positiv definite, hermitesche Matrix

B

existiert, sodass

B^{2} = {\bar{A}}^{t} \cdot A

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16:12 Uhr, 12.06.2014

Ich kenne leider keine andere. Der normale Weg geht über Hauptachsentransformation.

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16:18 Uhr, 12.06.2014

Ich hab grad doch noch was gefunden:
Aus der Vorlesung wissen wir, dass wenn A selbstadjungiert ist ( hermitische MAtrizen sind selbstadjungiert) eine Orthonormalbasis existiert, sodass die darstellende Matrix von A eine Diagonalmatrix ist. Darstellende Matrizen derselben linearen Abbildung sind ähnlich, das heißt

A = S \cdot B \cdot S^{- 1},

wobei

B

die Diagonalmatrix ist.

Jedoch ist das nicht die Form

A = S^{T} \cdot B \cdot S

die du meintest..
Weißt du vielleicht wie ich von hieraus in die Form komme?
Stellt A bilineare Abbildung dar? Dann würde ja

A = S^{T} \cdot B \cdot S

gelten.

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22:14 Uhr, 12.06.2014

Wenn Du

A = S B S^{- 1}

hast, dann

A = (S \sqrt{B} S^{- 1})^{2}

, wenn

\sqrt{B}

so definiert ist wie ich oben schon geschrieben habe. Also geht es auch mit dieser Art der Diagonalisierung.

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13:24 Uhr, 13.06.2014

Also:

A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix

B,

somit gilt:

A = S \cdot B \cdot S^{- 1} \Leftrightarrow A = {(S \cdot B^{\frac{1}{2}} \cdot S^{- 1})}^{2}

Somit folgt:

{\bar{A}}^{t} \cdot A = {(S \cdot B^{\frac{1}{2}} \cdot S^{- 1})}^{2} \cdot {({\bar{(S \cdot B^{\frac{1}{2}} \cdot S^{- 1})}}^{2})}^{t}

S

orthogonal ist gilt:

{\bar{A}}^{t} \cdot A = S^{2} \cdot B \cdot \bar{B} \cdot {(S^{- 1})}^{2}

Ist das soweit richtig?
Aber inwiefern hilft mir das jetzt weiter zu zeigen, dass eine Matrix

B

mit

B^{2} = {\bar{A}}^{t} \cdot A

existiert?

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13:27 Uhr, 13.06.2014

Ne-ne, Du musst

A^{t} A

diagonalisieren und nicht

A

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13:40 Uhr, 13.06.2014

Okey, neuer Versuch:
Da

{\bar{A}}^{t} \cdot A

hermitisch ist, ist sie ähnlich zu einer Matrix

D =

diag

(λ_{i}),

wobei

λ_{i}

die Eigenwerte von

{\bar{A}}^{t} \cdot A

sind.
Es gilt also:

{\bar{A}}^{t} \cdot A = S \cdot D \cdot S^{- 1}

Nun sei

D' =

diag

(λ_{i}^{\frac{1}{2}})

und

B = S \cdot D' \cdot S^{- 1}

Dann folgt:

B^{2} = S \cdot D' \cdot S^{- 1} \cdot S \cdot D' \cdot S^{- 1} = S \cdot D'^{2} \cdot S^{- 1} = {\bar{A}}^{t} \cdot A

Da die Eigenwerte lamda_i^(1/2) von

B

reell und positiv sind, ist

B

hermitisch und positiv definit.
Jetzt richtig?

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13:42 Uhr, 13.06.2014

Jetzt richtig. :-)

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13:44 Uhr, 13.06.2014

Sehr gut :-)
Bei

(c)

weiß ich aber leider immernoch nicht wie ich anfangen soll..
Kannst du mir da vielleicht auch noch ein bisschen helfen?

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14:14 Uhr, 13.06.2014

Für c) brauchst Du doch die Darstellung

A^{t} A = Q D Q^{t}

, glaube ich.
Es ist echt sehr komisch, dass ihr diese Aufgabe habt, ohne diesen Satz zu kennen.
Wie man sonst c) machen kann, weiß ich nicht.

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14:23 Uhr, 13.06.2014

Ich hatte die Idee

C

als

A \cdot B^{- 1}

zu definieren. Dann gelte

A = A \cdot B^{- 1} \cdot B = A

was ja stimmt und

C

wäre unitär:

{\bar{C}}^{t} \cdot C = {(\bar{A \cdot B^{- 1}})}^{t} \cdot A \cdot B^{- 1} = {\bar{B^{- 1}}}^{t} \cdot {\bar{A}}^{t} \cdot A ⋆ \cdot B^{- 1}

{\bar{A}}^{t} \cdot A = B^{2}

gilt und

B^{1}

hermitesch ist folgt:

B^{- 1} \cdot B \cdot B \cdot B^{- 1} = E

Funktioniert das auch, oder habe ich irgendwo einen Fehler übersehen?

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14:30 Uhr, 13.06.2014

Na, der Hacken ist bei der Tatsache, dass

B^{- 1}

hermitesch ist. Wie kannst Du es zeigen?

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14:32 Uhr, 13.06.2014

Übrigens, habe ich übersehen, dass oben eigentlich nicht bewiesen ist, dass

B

selber hermitesch ist.

Es kommt immer wieder darauf hinaus, dass Du eine "falsche" Darstellung hast, nämlich

S (A^{t} A) S^{- 1}

statt

S (A^{t} A) S^{t}

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14:40 Uhr, 13.06.2014

B^{- 1} = {({\bar{B}}^{t})}^{- 1} = {({\bar{B}}^{- 1})}^{T} = {(\bar{B^{- 1}})}^{t}

also ist

B^{1}

hermitisch.
Ist das so nicht richtig?
Wenn ja, bräuchte ich die Darstellung

S \cdot D \cdot S^{t}

doch nicht oder?
Ich dachte, dass

B

hermitisch ist folgt daraus, dass die Eigenwerte lamda_i^(1/2) reell und positiv sind. Muss ich das noch weiter beweisen?

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14:43 Uhr, 13.06.2014

"Ich dachte, dass

B

hermitisch ist folgt daraus, dass die Eigenwerte

λ_{i}^{1 / 2}

reell und positiv sind."

Das stimmt aber nicht. Die Matrix

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})

hat nur den Eigenwert

1

, ist aber nicht hermitesch.

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14:45 Uhr, 13.06.2014

Hmm, da hast du recht..
Ich vermute mal das

B

hermitisch ist lässt sich sonst nurch mit

B = S \cdot D \cdot S^{t}

beweisen oder?

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15:02 Uhr, 13.06.2014

Ich vermute es auch. Ich bin sogar fast sicher.

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15:06 Uhr, 13.06.2014

Wenn man mal vorraussetzt, dass

B

hermitesch ist, ist dann der Beweis von

(c)

so richtig?
Und die Matrix

S

aus

S \cdot D \cdot S^{- 1}

ist doch eine Orthogonlamatrix oder?

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15:16 Uhr, 13.06.2014

Wenn

B

hermitesch ist, ist alles Andere OK.

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15:53 Uhr, 13.06.2014

Es gilt

B = S \cdot D' \cdot S^{- 1}

und

{\bar{B}}^{t} = {(\bar{S \cdot D' \cdot S^{- 1}})}^{t} = {\bar{S}}^{t} \cdot D' \cdot {(\bar{S^{- 1}})}^{t}

Das

S

eine Orthogonalmatrix ist gilt

S^{- 1} = {\bar{S}}^{t},

also:

{\bar{B}}^{t} = S^{- 1} \cdot D' \cdot S = B

Ist das nicht ein Beweis dafür, dass

B

hermitisch ist?

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16:30 Uhr, 13.06.2014

Wenn Du weißt, dass

S

orthogonal ist, dann hast Du aus

S D S^{- 1}

sofort

S D S^{t}

und alles läuft wie geschmiert.
Ich wusste nicht, dass in Deiner Darstellung

S

orthogonal ist.

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18:27 Uhr, 13.06.2014

D

ist die darstellende matrix bezüglich einer orthonormalbasis, ich dachte daraus folgt dass die transformationamatrix

S

orthogonal sein muss..oder ist das falsch?

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22:32 Uhr, 13.06.2014

Wenn Du eine orthonormale Basis in eine andere transformierst, dann ist die Transformationsmatrix gewiss orthogonal. Aber wo hast Du orthonormale Basen? Oder hast Du sie doch?
Ich habe schon das Gefühl, das ihr das richtige Ergebnis hattet, nur musst du dieses Ergebnis auch verstehen...

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09:55 Uhr, 14.06.2014

D

ist darstellende Matrix bezüglich einer Orthonormalbasis. Ich hab erst jetzt erkannt dass daraus folgt das

S

orthogonal ist und somit

S \cdot D \cdot S^{- - 1}

und

S \cdot D \cdot S^{t}

äquivalent sind. Aber damit lässt sich die aufgabe ja leicht lösen :-)
Könntest du mir noch kurz bei einer anderen Aufgabe helfen?
Sei

F = (x_{i}) i \in I

bzw.

G = (y_{j}) j \in J

ein System von Vektoren in

V

bzw

W

und

H = (x_{i} ⋆ y_{j})

ein System von Vektoren in

V ⋆ W (⋆

meint hier das Tensorprodukt)
Zeigen Sie: (i)

H

linear unabhängig

\Leftrightarrow F

und

G

linear unabhängig
(ii)

H

ist Erzeugendensystem

\Leftrightarrow F

und

G

sind Erzeugendensysteme

Zu

(i)

Hinrichtung:

H

ist linear unabhängig also: sum c_ij*(x_i**y_j)

= 0 \Rightarrow

c_ij=0 Aber wie folgt nun daraus, dass

\sum d_{i} \cdot x_{i} = 0 \Rightarrow d_{i} = 0

?
Bei der Rückrichtung hab ich genau dasselbe Problem..
Zu (ii): Hinrichtung: jedes Element

t \in V ⋆ W

lässt sich darstellen als

t = \sum c_{i} \cdot d_{j} \cdot (x_{i} ⋆ y_{j})

. Aber wie kann man jetzt folgern, dass

F

und

G

Erzeugendensysteme sind?
Die Rückrichtung habe ich fertig.

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