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implizierte darstellungsform ellipse

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: implizite Darstellung

baadshah aktiv_icon

10:23 Uhr, 11.01.2012

Hallo,

die implizite Darstellungsform soll gebildet werden

von $x = \frac{2}{1 + t^{2}} u n d y = \frac{t}{1 + t^{2}}$

mein rechenweg

für x

$1 = \frac{x (1 + t^{2})}{2}$

und für y

$y t + \frac{y}{t} = 1$

sind die beiden richtig??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

11:10 Uhr, 11.01.2012

da hast du wohl die Aufgabenstellung nicht richtig interpretiert..

vermutlich solltest du aus der gegebenen Parameterdarstellung
den Parameter

t

eliminieren und eine parameterfreie Form finden?
Also eine Ellipsen-Gleichung, in der nur noch

x

und

y

vorkommen ,
dh das Ergebnis könnte so ähnlich aussehen wie zB:

{(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} = 1

Schau also nochmal genau nach, was im Aufgabentext steht.

baadshah aktiv_icon

11:20 Uhr, 11.01.2012

die aufgabe lautet: Wandeln Sie die Parameterdarstellung der Ellipse in eine implizite Darstellungsform und dann in die Hauptform.

rundblick aktiv_icon

11:26 Uhr, 11.01.2012

na siehst du ..

also versuch jetzt mal zu einem (parameterfreien) Ergebnis der Form

\frac{{(x - x_{m})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - y_{m})}^{2}}{b^{2}} = 1

zu kommen.

baadshah aktiv_icon

11:34 Uhr, 11.01.2012

danke,

bevor ich das mache,

ist deine implizite form richtig.

wenn ja

wie hast du sie bekommen?

rundblick aktiv_icon

11:44 Uhr, 11.01.2012

"
ja !

wie hast du sie bekommen? "

ganz einfach:
aus dem System der beiden Gleichungen

x = \frac{1}{1 + t^{2}}

y^{2} = \frac{t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}

den Parameter

t

eliminiert...

baadshah aktiv_icon

11:55 Uhr, 11.01.2012

hast du die beiden gleichungen gleichgesetzt oder wie

ich komme einfacht auf dein ergebnis

rundblick aktiv_icon

12:05 Uhr, 11.01.2012

".. die beiden gleichungen gleichgesetzt

NEIN

es ist

x = \frac{2}{1 + t^{2}} .

. also :

(1 + t^{2}) = \frac{2}{x}

und .. also dann noch

t^{2} = \frac{2}{x} - 1 = \frac{2 - x}{x}

so ,

setze das nun ein bei

y^{2} = ...

.

ok?

baadshah aktiv_icon

12:34 Uhr, 11.01.2012

so ?

$y^{2} = \frac{t^{2}}{(1 + t^{2})^{2}}$

$y^{2} (1 + t^{2})^{2} = t^{2}$

hier komme ich nicht weiter

funke_61 aktiv_icon

13:13 Uhr, 11.01.2012

y^{2} = \frac{t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}

bzw.

y^{2} {(1 + t^{2})}^{2} = t^{2}

sind die richtigen Quadrierten Formen von

y

in Abhängigkeit von

t

Schau doch nochmal den Text von rundblick an:
er hat geschrieben, dass Du

t^{2} = \frac{2}{x} - 1

bzw.

t^{2} = \frac{2 - x}{x}

in dein

y^{2} = . .

.
für

t^{2}

einsetzen sollst.
So wird

t^{2}

(und

t)

aus den beiden ursprünglichen Gleichungen eliminiert.
Ergebnis ist die Implizite Form in einer einzigen Gleichung

(d . h

. ohne den Parameter

t)

Anschließend musst Du diese Implizite Form noch auf die Hauptform der Ellipsengleichung bringen, die Dir rundblick oben auch schon angegeben hat.

rundblick aktiv_icon

16:23 Uhr, 11.01.2012

x = \frac{2}{1 + t^{2}}

... ... ... . .

\to

siehe oben:

\to

(1 + t^{2}) = \frac{2}{x}

t^{2} = \frac{2 - x}{x}

du solltest einsetzen in

y^{2} = \frac{t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}

also:

y^{2} = \frac{\frac{2 - x}{x}}{{(\frac{2}{x})}^{2}} = \frac{(2 - x) \cdot x}{4}

x^{2} - 2 x + 4 \cdot y^{2} = 0

usw

. .

.

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