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implizite Funktionen, Anwendung
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: implizite Funktion
 
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hab hier eine aufgabe die lautet wie folgt: Sei (R=reell) mit 2xy - 4xz Frage: zeige dass durch in einer Umgebung von eine diffbare Fktion mit definiert wird. Als Lösung steht da: (das ist noch klar) dann steht dort weiterhin ungleich 0 (Rechnung klar , aber wieso das? ) un djetzt steht da: satz über implizite funktionen anwendbar ???!!! hab mir diesen satz mal durchgelesen aber kann mir absolut nix drunter vostellen und weiß auch nich was das mit dieser aufgabe zu tun hat. kann mir da jmd weiterhelfen ? danke vorab Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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anonymous 23:11 Uhr, 12.10.2008 |
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Hallo richard, der Satz über implizite Funktionen ist unter anderem dafür da, überbestimmte Gleichungssysteme zu vereinfachen. In deinem Fall besteht das Gleichungs"system" nur aus einer Gleichung. Du hast aber 3 Variablen x,y,z. Jetzt will man also das Gleichungssystem lösen, und man fragt sich nun, da das Gleichungssystem überbestimmt ist, ob es möglich ist, die Lösungen nur durch zwei Variablen darstellen zu kommen, also die Funktion quasi nur noch von x und y abhängig zu machen, also . Dafür muss das Gleichungssystem nach z auflösen (dann stellt man z durch die Variablen x und y dar, also ). Das ist aber manchmal gar nicht so einfach und dafür ist der Satz über implizite Funktionen gut, denn dieser sagt uns, ob das Umstellen der Gleichung nach einer (oder auch mehreren) variablen überhaupt möglich ist. Dafür muss "nur" überprüft werden, ob die Funktion von der/den Variable/n an der Stelle überhaupt abhängig ist, d.h. ob die partielle Ableitung nach den Variablen ungleich Null ist. Bei einer mehrdimensionalen Funktion entsteht eine Jacobi-Matrix, bei dieser muss dann im Punkt die Determinante ungleich null sein. Ist diese Bedingung erfüllt, dann sagt der Satz aus, dass die Gleichung in der Nähe von nach der Variablen z umstellbar ist und man kann nur noch durch x und y darstellen. Wie die Funktion letztendlich aussieht, sagt der Satz nicht, und ob man überhaupt in der Lage ist, die Gleichungen rechnerisch nach z umzustellen, ist auch nicht gesagt. Der Satz sagt nur etwas von der Möglichkeit der Umstellung, hat also in erster Linie einen hohen theoretischen Wert, da er für einige andere Beweise benötigt wird. In deinem Fall werden nur die Bedingungen für den Satz überprüft, also ob und die partielle Ableitung nach z ist. Dann ist der Satz anwendbar (mehr Bedingungen werden nicht benötigt) und er liefert dir auch gleich die Antwort auf die Frage. Ja, es existiert eine Funktion und es gilt . Dann kann man nämlich die Funktion so ändern: Gruß Tobias |
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okeee super erklärung! vielen dank dir. jetzt hab ich den hintergrund verstanden!!!das mit ungleich 0 kennt man ja schon aus der linearen algebra trotzdem noch ne kurze frage: in der aufgabe weiß man nur durch die vorgabe des punktes dass ist da ja ?! seh ich das richtig? weil rechnen muss man ja anscheinend nich |
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anonymous 18:01 Uhr, 13.10.2008 |
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Ja genau, du weißt, dass ist, und dass auf einer Umgebung von (also es gibt ein Epsilon, so dass auf der Epsilon-Umgebung von mindestens gilt), ist. Wie groß diese Umgebung allerdings ist, ist ebenso wie die Funktion zunächst nicht bekannt und müsste rechnerisch bestimmt werden. Der Satz sagt also nur etwas über die Existenz von Objekten aus und einige von deren Eigenschaften. |
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Okeee vielen dank nochmal |
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