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injektiv surjektiv beweis bei Verkettungen

Universität / Fachhochschule

Tags: injektiv, surjektiv, Verkettung

Underfaker aktiv_icon

11:12 Uhr, 10.11.2011

Seien

f : D \to M

und

g : M \to N

Funktionen. Zeigen Sie

a)

ist

g \circ f

injektiv so ist

f

injektiv.

b)

ist

g \circ f

surjektiv so ist

g

surjektiv.

c)

ist

f

surjektiv und

g \circ f

injektiv so ist

g

injektiv.

Was injektiv und surjektiv allgemein bedeutet weiß ich, das ist auch kein Problem.

Wir haben das ganze auch schonin der Vorlesung dran gehabt, allerdings haben wir nur aufgeschrieben, das dem so ist also bspw.

a)

aber nicht wie man darauf kommt.

Zeigen heißt ja beweisen, aber da fehlen mir die grundsätzlichen Werkzeuge, kann mir dabei vielleicht jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

12:36 Uhr, 10.11.2011

Hallo,

alle drei Aussagen kann man direkt aus den Definitionen beweisen (Definitionsbeweise).
Das einzige Hilfsmittel, das meiner Meinung nach noch "gebraucht" wird, ist die Technik des Widerspruchsbeweises bzw. die Kontraposition.

Zu a): Wenn

f

NICHT injektiv wäre, dann ...

Bei den anderen klappt das auch.

Mfg Michael

Underfaker aktiv_icon

19:40 Uhr, 10.11.2011

a)

Seien

x_{1}, x_{2} \in D

beliebig. Dann

f (x_{1}) = f (x_{2})

eingesetzt in

g \Rightarrow g (f (x_{1})) = g (f (x_{2}))

\Leftrightarrow (g \circ f) (x_{1}) = (g \circ f) (x_{2})

\Rightarrow x_{1} = x_{2}

b)

Sei

x \in N

beliebig; wir brauchen ein

y \in M,

so dass

g (y) = z

.
Nach Surjektivität von

g \circ f

gibt es ein

z \in D,

so dass

g (f (z)) = x,

also

y := f (z)

c)

Sei

g (x_{1}) = g (x_{2})

.
Da

f

surjektiv ist gibt es

y_{1}, y_{2}

mit

f (y_{1}) = x_{1}, f (y_{2}) = x_{2}

\Rightarrow g \circ f (y_{1}) = g (x_{1}) = g (y_{2}) = g \circ f (y_{2})

g \circ f

ist injektiv

\Rightarrow y_{1} = y_{2} \Rightarrow x_{1} = f (y_{1}) = f (y_{2}) = x_{2}

insgesamt also folgt aus

g (x_{1}) = g (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}

.

Geht das denn auch so ? Ist das überhaupt richtig?

michaL aktiv_icon

21:14 Uhr, 10.11.2011

Hallo,

sieht gut aus.
Stellt sich nur die Frage, warum du gefragt hast. (Was nicht heißt, dass mich das stört. Im Gegenteil. Finde es gut, wenn das jemand selbser hinkriegt.)

Mfg Michael

Pietus3 aktiv_icon

13:11 Uhr, 01.11.2015

Ich komm jz zwar ein paar Jahre später zu dieser Frage, aber ich hätte noch eine Frage zu deiner Lösung zu