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injektiv, surjektiv, bijektiv beweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: mengen, Mengen und Aussagen, Mengenlehre, Mengenlehre beschreiben

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19:48 Uhr, 30.10.2022

Hallo, ich struggle bei der folgenden Aufgabe: Sei

M

eine Menge und

A, B

zwei Teilmengen. Definieren Sie

f : P (M) \to P (A) x P (B)

durch

f (X) = (X

UND

A, X

UND

B)

. Zeigen Sie, dass:

(a) f

ist injektiv, genau dann, wenn A ODER

B = M,

(b) f

ist surjektiv, genau dann, wenn A UND

B =

leere Menge,

(c) f

ist genau dann bijektiv, genau dann, wenn A das Komplement von

B \in M (d . h ., M B = A)

ist. In diesem fall ist

f^{- 1}

zu berechnen.

Muss ich mit der definition

f (x 1) = f (x 2) \to x 1 = x 2

arbeiten? Könnt ihr mir ansätze geben? Wie ich weiter kommen kann...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

michaL aktiv_icon

20:09 Uhr, 30.10.2022

Hallo,

bitte füge den Scan der Originalaufgabenstellung bei.

Mfg Michael

mabelle aktiv_icon

20:16 Uhr, 30.10.2022

Hier noch einmal als Bild:

michaL aktiv_icon

20:38 Uhr, 30.10.2022

Hallo,

also wenden wir uns erst einmal a) zu.
> Muss ich mit der definition f(x1)=f(x2)→x1=x2 arbeiten?

Ja, halte ich für sinnvoll.
Allerdings ist das nur die eine Hälfte. Du hast eine Äquivalenz

A \overset{}{\Leftrightarrow} B

zu beweisen. Wenn einem da nichts schlaueres einfällt (so wie das am Anfang zu Übungszwecken oft der Fall ist), muss man die beiden Implikationen

A \Rightarrow B

UND

B \Rightarrow A

beweisen. Dies geschieht üblicherweise unabhängig voneinander.

Beginnen wir vielleicht erst einmal mit

A \cup B = M \Rightarrow

f

injektiv
Zu diesem Zweck verwende die Definition!

Mfg Michael

mabelle aktiv_icon

20:49 Uhr, 30.10.2022

Ok, danke für die Ansätze!
Ich melde mich sobald ich nicht weiterkomme...

michaL aktiv_icon

23:33 Uhr, 30.10.2022

Hallo,

da die Erfahrung zeigt, dass dies die letzten Worte eines Fadenerstellers sein können und ich nicht mehr so sehr lange vor dem Rechner sitze, hier mal die Abhandlung zum Thema injektiv:

Beginnen wir also mit

A \cup B = M \Rightarrow f

injektiv.
Sei also

A \cup B = M

. Dann gilt insbesondere

(X \cap A) \cup (X \cap B) = X \cap (A \cup B) = X \cap M = X

.

Sei also

f (X) = f (Y)

für (nicht von vorneherein verschiedene) Teilmengen

X, Y \subseteq M

, d.h. es gilt

(X \cap A, X \cap B) = (Y \cap A, Y \cap B)

, also

X \cap A = Y \cap A

und

X \cap B = Y \cap B

.

Dann aber gilt

X = (X \cap A) \cup (X \cap B) = (Y \cap A) \cup (Y \cap B) = Y

, d.h. aus

f (X) = f (Y)

folgt

X = Y

. Also ist

f

injektiv.

f

injektiv

\Rightarrow A \cup B = M

:
Sei

f

injektiv und

m \in M

beliebig.

Wäre

m \notin A

, woraus

{m} \cap A = \emptyset

folgte, UND

m \notin B

, woraus

{m} \cap B = \emptyset

folgte, so wäre

f ({m}) = f (\emptyset)

, was aber wegen der Injektivität nicht geht. Es muss also

m \in A

oder

m \in B

(oder von mir aus auch beides) gelten.
Damit gezeigt:

M \subseteq A \cup B

Da ja gemäß Aufgabenstellung

A, B \subseteq M

und damit auch

A \cup B \subseteq M

gelten, folgt also

A \cup B = M

.

Die anderen Aufgabenteile sind ähnlich zu bearbeiten, wobei beim dritten die beiden vorherigen Ergebnisse nur zusammengefasst werden müssen.

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

21:01 Uhr, 01.11.2022

Hallo,

ok, dann hier der Vollständigkeit halber für die noch Interessierten.

b) Zu zeigen:

f

surjektiv

\overset{}{\Leftrightarrow} A \cap B = \emptyset

\Leftarrow

": Sei

A \cap B = \emptyset

. Zu zeigen: Es gibt zu jedem beliebigen Mengenpaar

(C, D)

mit

C \subseteq A

und

D \subseteq B

(mindestens) ein Urbild

Y \subseteq M

mit

f (Y) = (Y \cap A, Y \cap B) = (C, D)

.
Probiere

Y := C \cup D

.

Denn:

(C \cup D) \cap A \overset{Distributivgesetz}{=} (C \cap A) \cup (D \cap A)

.
Da

C \subseteq A \Rightarrow C \cap A = C

(sogar "

\overset{}{\Leftrightarrow}

").
Da

D \subseteq B \Rightarrow D \cap A \subseteq B \cap A = \emptyset \Rightarrow D \cap B = \emptyset

.

Damit klar:

(C \cup D) \cap A = C \cup \emptyset = C

.
Analog:

(C \cup D) \cap B = D

Damit gilt für

Y = C \cup D

tatsächlich

f (Y) = (C, D)

, womit die Surjektivität bewiesen ist.

"

\Rightarrow

f

sei also surjektiv. Zu zeigen:

A \cap B = \emptyset

Annahme: Es gibt ein

x \in A \cap B

.
Da

f

surjektiv ist, gibt es ein

Y \subseteq M

mit

f (Y) = (Y \cap A, Y \cap B) \overset{!}{=} ({x}, \emptyset)

.
Dies ist aber ein Widerspruch. Denn: Aus

Y \cap A = {x}

folgt insbesondere

x \in Y

. Dann gilt aber wegen

x \in A \cap B

auch

x \in Y \cap B = \emptyset

.
Ergo muss die Annahme,

A \cap B

sei nicht leer, falsch gewesen sein und das war zu zeigen.

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

21:09 Uhr, 01.11.2022

Hallo zum 2.,

c):

f

ist genau dann bijektiv, wenn es a) injektiv und b) surjektiv ist.
Damit gilt:

f

ist genau dann bijektiv, wenn a)

A \cup B = M

und b)

A \cap B = \emptyset

gelten.
Dies ist genau dann der Fall, denn

A \dot{\cup} B = M

bzw.

M \ A = B

und

B = M \ A

gelten.

Die Umkehrabbildung erkennt man aus dem Teil

A \cup B = M \Rightarrow f

injektiv in a):

f^{} - 1 (C, D) = C \cup D

.
(Muss nur nachgerechnet werden!)

Mfg Michael

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