 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » injektiv, surjektiv, bijektiv? mit beweis untersuchen...
injektiv, surjektiv, bijektiv? mit beweis untersuchen...
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
|
anonymous 02:45 Uhr, 27.10.2005  |
|
|---|---|
|
Hallo Ihr Lieben! Leider viel zu spät entdecke ich dieses tolle Forum! Morgen muss ich mein erstes Übungsblatt abgeben und die Hälfte habe ich noch nicht. Eine der Aufgaben ist: Untersuchen Sie (mit Beweis), ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv, bijektiv sind. a) f:R\{3}-->R\{2}, x--> 2x-1/x-3 (Bruch, zähler 2x-1, nenner x-3). b) (P = Potenzmenge) f:P(M)-->P(M), N-->M\N, wobei M eine beliebige Menge ist und P(M) ihre Potenzmenge bezeichnet. Bitte helft mir so schnell wie möglich, muss erst um 14Uhr abgeben, und es wär super wenn ich vorher noch nen Tip bekäme! Ich habe echt keine Idee wie ich da dran gehen soll. Und bitte nicht in diesem Java antworten, konnte das nicht installieren, ka warum :(. Danke schonmal, liebe Grüße, Carolin |
|
| |
anonymous 04:24 Uhr, 27.10.2005 |
|
|
Ok, ich habe inzwischen die funktion mal gezeichnet. für x=e ist sie ja nicht definiert, für x>3 kommt sie aus dem positiv-unendlichen und nähert sich von oben der 2 an, für x<3 kommt sie aus dem negativ-unendlichen und nähert sich von unten der 2 an (sieht man ja an der Gleichgung 2x/x... . Daraus shcliesse ich shconmal dass die abbildung injektiv ist, da kein y-wert 2mal vorkommt. ist das richtig? Wie beweise ich das? Ich habe überlegt damit zu argumentieren, dass 2x-1 alle ungeraden zahlen beschreibt/durchläuft und x-3 linear ist, also steigt x um 1 steigt auch x-3 um eins. d.h. es kann kein x geben für dass es 2versch. y gibt, richtig? Oder muss ich den beweis abstrakter formulieren, mit x1 und x2 irgendwie? und wie sieht es mit der surjektivität aus? Ich würde sagen sie ist auch surjektiv, da sie ja sowohl ins positive als auch ins negative unendliche geht... !? liebe grüße |
|
anonymous 04:32 Uhr, 27.10.2005 |
|
| Korrektur: es kann kein y geben zu dem es 2versch. x gibt. | |
anonymous 06:02 Uhr, 27.10.2005 |
|
|
Juchhu! Den Beweis für die Injektivität von a) habe ich jetzt, aber der zur Surjektivität fehlt mir noch, da komme ich nicht weiter und was mir auch noch ganz fehlt ist die b). zu a): ist f(x1)=f(x2), so ist x1=x2. Also: 2(x1)-1/(x1)-3 = 2(x2)-1/(x2)-3 formt man dies um kommt man am ende auf 5(x2)=5(x1) --> x1=x2. Dieser Beweis ist doch richtig, oder? |
|
|
|
|
|
hi carolina, ich habe dir mal eine e-mail geschrieben. ich bin im selben kurs wie du glaube ich :) |
|
|
|
|
| carolin nicht carolina :) | |
anonymous 11:35 Uhr, 27.10.2005 |
|
|
warum kannst das nicht hierreinschreiben ? es gibt noch mehr arme schweine (wie ich), die im kurs sind und denen die aufgabe fehlt.. bitte hierreinschreiben, danke ;) |
|
|
|
|
|
tja hätte ich die lösung vollständig,dann würde ich sie reinschreiben ^^ bin auch nur bis zur injektivität gekommen und bei der surj. haperts noch |
|
|
|
|
|
Die Injektivit�t hab ich auch hinbekommen :) Dass es surjektiv ist, ist einleuchtend weil ja alles au�er die bereits aus dem Wertebereich ausgeschlosse 2 vorkommt. Ich hab zur Zeit keine Ahnung wie man das schriftlich beweisen soll. Kannst du mal die L�sungen f�r die anderen Aufgaben von 9, sowie 10-11 schreiben ? ^^ PS: Hast du auch erst morgen �bungen ? Um wieviel Uhr ? |
|
anonymous 12:43 Uhr, 27.10.2005 |
|
|
Tagchen! f:R\{3}-->R\{2}, x--> (2x-1)/(x-3) f ist surjektiv, wenn es zu jedem y aus R\{2} ein x aus R\{3} gibt mit f(x)=y. Sei also y aus R\{2} beliebig und fest und nun suchen wir ein x aus R\{3} mit f(x)=y. Dann gilt: f(x)=y i.ä.z. (=ist äquivalent zu) y=(2x-1)/(x-3) (Achtung: x ungl. 3) i.ä.z. xy-3y=2x-1 i.ä.z. x(y-2)=3y-1 i.ä.z. x=(3y-1)/(y-2) (beachte: y ungl. 2) Da y aus R\{2} beliebig war, gibt es zu jedem y aus R\{2} ein x:=(3y-1)/(y-2) mit f(x)=y, d.h. f ist surjektiv! Grüße |
|
|
|
|
|
danke, die auflösung nach x hatte ich sogar auch rausgehabt, jedoch wusste ich nicht, dass dann schluss ist ;) frage zu einer ähnlichen aufgabe, die mündlich gelöst und vorgetragen werden soll: f:Z x Z -> Z, (x,y) |-> x^2 + 2y reicht es aus: - die nicht-injektivität zu beweisen indem man sagt dass f(x)=f(-x) und x^2 = (-x)^2 ist ? - die surjektivität zu beweisen indem man sagt, dass wenn z.b. x=0 ist, sich alle ganzen geraden zahlen durch f(0,y)=2y darstellen lassen, sowie wenn z.b. x=1 ist, sich alle ganzen ungeraden zahlen durch f(1,y)=2y+1 darstellen lassen ? danke im vorraus |
|
|
|
|
| ich habe meine übung morgen direkt nach der vorlesung und bis auf den teil von der 9 hab ich nichts hinbekommen aufgrund von zeitmangel und geistiger inkompetenz ^^ .ich finde es noch schwer,den richtigen lösungsansatz zu finden,das kommt aber mit der zeit denke ich | |
anonymous 13:21 Uhr, 27.10.2005 |
|
|
b) (P = Potenzmenge) f:P(M)-->P(M), N-->M\N, wobei M eine beliebige Menge ist und P(M) ihre Potenzmenge bezeichnet. f ist injektiv: Seien A,B Elemente von P(M) mit f(A)=f(B). Dann sind A und B Teilmengen von M, so dass M\A=M\B. (Ich schreibe nun X < Y bzw. y > X, falls X Teilmenge von Y ist. Außerdem werde für G < H die Menge G^c=H\G das Komplement von G bzgl. H bezeichnet!) Durch Komplementbildung bzgl. M folgt A=B mit de Morgan! (Denn es ist 1.) M\A < M\B 2.) M\B < M\A Nach de Morgan folgt aus 1.) (M\A)^c=A < (M\B)^c=B und aus 2.) folgt mit de Morgan (M\B)^c=B < (M\A)^c=A, also A < B und B < A, also A=B.) Demnach ist f injektiv. f ist surjektiv: Sei Z Element P(M). Dann ist Z Teilmenge von M. Nach de Morgan gilt (Komplementbildung bzgl. M): Z=(M\Z)^c=M\(M\Z)=f(M\Z)=f(Z^c) (I) M.a.W.: Es gilt Z^c=M\Z ist Teilmenge von M, woraus folgt: Z^c ist Element von P(M), der Definitionsmenge von f und es ist (siehe (I)) f(Z^c)=Z. Für jedes Z aus P(M) (dem Bildbereich von f) gibt es daher ein X:=Z^c:=M\Z aus P(M) (dem Definitionsbereich von f) mit f(X)=Z und daher ist f surjektiv. f ist also injektiv und surjektiv, also bijektiv! Grüße |
|
|
|
|
|
ich hab morgen auch direkt nach der vorlesung von 10-12 :) habe die 10 und 11 noch gar nicht, die 8 hab ich und an der 9 sitz ich gerade..hab aber noch keine erleuchtung f�r die 4. und 5.aufgabe in der 9. pures rechnen mit zahlen kann ich gut...es fehlt nur jmd der den ansatz hinschreibt ^^ |
|
anonymous 13:29 Uhr, 27.10.2005 |
|
|
Hallo! *** f:Z x Z -> Z, (x,y) |-> x^2 + 2y reicht es aus: - die nicht-injektivität zu beweisen indem man sagt dass f(x)=f(-x) und x^2 = (-x)^2 ist ? *** Ja, gute Begründung, aber konkreter werden. f ist nichtinjektiv wegen z.B. f((-1,1))=f((1,1)), aber (-1,1) ungleich (1,1) (nachrechnen oder mit Deiner Begründung, wobei man dieses Paar eben z.B. anhand Deiner Begründung erstmal finden kann)! * - die surjektivität zu beweisen indem man sagt, dass wenn z.b. x=0 ist, sich alle ganzen geraden zahlen durch f(0,y)=2y darstellen lassen, sowie wenn z.b. x=1 ist, sich alle ganzen ungeraden zahlen durch f(1,y)=2y+1 darstellen lassen ? *** Genau. Nur solltest du formaler werden (die Idee ist aber absolut korrekt!): Ist z aus Z gegeben, so wählen wir für z ungerade y:=(z-1)/2 (da z-1 gerade ist, ist y ein Element von Z). Dann gilt für x:=(1,y), was Element von Z kreuz Z ist f(x)=z. Ist z gerade, so wählen wir y:=z/2 (weil z gerade ist, ist dann auch y ein Element von Z). Für x:=(0,y) gilt dann f(x)=z. *** Grüße |
|
|
|
|
|
ja genauso sehe ich das auch,es ist schwer abstrakter zu denken. aber das wird wohl übungssache sein nehme ich an . das forum hier ist aber schon sehr geil muss ich sagen,dachte nicht dass es noch viele gleichgesinnte gibt :) p.s. mein icq ist 230-662-195 bist du auch in der übungsgruppe 17 ? |
|
anonymous 13:33 Uhr, 27.10.2005 |
|
|
Achja, zum formalen: *** - die nicht-injektivität zu beweisen indem man sagt dass f(x)=f(-x) und x^2 = (-x)^2 ist ? *** Du meintest f(x,0)=f(-x,0) (oder, wenn man kleinlich ist, müßte man es so schreiben: f((x,0))=f((-x,0)))! |
|
anonymous 13:49 Uhr, 27.10.2005 |
|
|
Hi! Nö, ich bin nicht in Übungsgruppe 17, helfe gern mal hin und wieder hier aus. ICQ benutze ich nicht. War doch gar nicht so abstrakt, sondern nur konkret bei Deiner Aufgabe. Wenn Du sagst: f: Z x Z; (x,y) |--> x²+2y dass dort gilt: Die Bildmenge von M:={(0,t): t aus Z} (also f(M)) enthält alle geraden ganzen Zahlen, dann brauchst du dafür einen Beweis. Entweder du definierst dir zu jedem z aus Z ein passendes t, so dass f((0,t))=z gilt, oder Du versuchst, es zu finden. Also: Wann gilt f((0,t))=z für gerades z? Genau dann, wenn 0²+2t=z, also wenn t=z/2. Dann hast du gesagt, für N:={(1,t):t aus Z} gilt f(N) enthält alle ungeraden ganzen Zahlen. D.h., wir suchen t aus Z mit f((1,t))=z, falls z ungerade. Das gilt genau dann, wenn 1²+2t=z, also t=(z-1)/2. Nun ist noch die Frage, ob auch t ein Element von Z ist. Da z-1 gerade ist, ist t=(z-1)/2 ganzzahlig! Ist die Logik dahinter klar? Ich habe im Prinzip deine Hinweise *missbraucht*, umd konkrete Elemente anzugeben ;-)! Grüße |
|
|
|
|
|
gruppe 17 ist von 12-13:30 uhr laut dem plan, ich bin gruppe 14. Also soll ich als nicht-injektiv begr�ndung einfach meine behauptung x^2=(-x)^2 durch das beispiel f(-1,1) und f(1,1) beweisen. ich wei�, dass meine idee nicht gerade formal ausgedr�ckt ist..dadran muss ich noch arbeiten ;) mag jmd noch die aufgabe 4 l�sen (selbe aufgabenstellung)? f:R x R->R x R, (x,y) |-> (x^2 + y^2, x-y) |
|
|
|
|
| mein fehler. 17 war analysis :) | |
anonymous 14:24 Uhr, 27.10.2005 |
|
|
Achja, sorry, gucke nie so genau, wer was schreibt. Ja, zur anderen Aufgabe: Zeige f(-1,1)=f(1,1), um die Inj. zu widerlegen. Hierzu *** f:R x R->R x R, (x,y) |-> (x^2 + y^2, x-y) *** Was ist f(1,1)? Und was ist f(-1,-1)? f ist also nicht injektiv, weil... f ist nicht surjektiv, denn sonst gäbe es z.B. (x,y) aus R x R mit f(x,y)=(-1,0), aber x²+y² ist stets >= 0, kann also nicht den Wert -1 annehmen! So, Sorry, muß weg! Grüße |
|
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
452489
452469