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innerer Automorphismus der symmetrischen Gruppe Sn
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Automorphismus, Gruppe, innere, symmetrisch
 
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ist, dass jeder Automorphismus der symmetrischen Gruppe Sn, ungleich auch ein innerer Automorphismus ist. Tipp: Jeder 3er- Zykel geht auf einen 3er-Zykel. Was ich bisher weiß: Ein Automorphismus ist ja ein Isomorphismus mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass er eine Struktur, bzw. hier Gruppe in sich selbst abbildet. (Sn->Sn) Ein innerer Automorphismus ist ja ein Automorphismus bei dem ein Element der Gruppe abgebildet wird auf (g->hgh^(-1)). Mein Problem ist, dass ich die Aufgabe noch nicht ganz verstehe. Bedeutet das, dass es keinen Automorphismus Sn Sn gibt, bei dem das Element aus Sn nicht durch Konjugation abgebildet wird? Und bei dem Tipp soll man da zeigen, dass jeder 3er-Zykel durch Konjugation auf einen 3-er Zykel geht? Vielen Dank schon mal. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Jayjay, ich kann Dir zwar keine volle Lösung anbieten, aber vielleicht ein paar Tipps: Die alternierende Gruppe wird von den 3-er Zykeln erzeugt. Ein Erzeugendensystem aus 3-er Zykeln ist . . . Also muss ich mich bzgl. der Elemente aus nur um diese kümmern. Dabei hilft natürlich die Aussage, dass unter einem Automorphismus 3-er Zykeln in 3-er Zykeln übergehen, . die 3-er Zykeln untereinander nur permutiert werden. Einen 3-er Zyklus per innerem Automorpshimus in einen anderen zu überführen ist kein Problem: (abc) (abd) geht mit (cd)(abc)(cd)=(abd), etc. etc. Bedenke (cd)=(cd)^(-1). Da die nur eine Nebenklasse hat dürfte das Ganze auch für funktionieren. Warum ausgeschlossen werden muss, weiss ich gerade nicht. mfg Ermanus |
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