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inneres und äußeres Produkt - Definition

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Matrizenrechnung

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Vektorraum

reflexion

18:43 Uhr, 30.03.2016

Hallo,

ich habe eine Feage zum inneren Produkt und äußerern Produkt:

1) Für die Definition vom inneren Produkt habe ich zwei unterschiedliche Ansätze gefunden:

... inneres produkt =

x^{T} * y = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} * y_{i}

... inneres produkt =

a * b

--> stimmen hier beide Definitonen oder ist eine falsch?

Das innere Produkt gibt ja sozusagen die Stellung (Winkel) der Vekotren zueinander an. - Das heißt also wenn das innere Produkt 0 ist, müssten sie rechtwinklig sein!

2) Keine Ahnung was das sein sollte und wie man es interpretiert. Ich lese immer vom äußeren Produkt, komme aber überhaupt nicht damit klar was es ist und wie es sich vom inneren Produkt unterscheidet!

Als Beispiel habe ich hier:

a = (\begin{array}{rcl} 3 & 2 & 1 \end{array})

b = (\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 \end{array})

Was ist Rang des äußeren Products von diesen 2 Vektoren?

--> Solange ich aber nicht genau weiß wie das äußere Produkt definiert ist, kann ich das nicht berechnen.

Danke!
MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

tommy40629 aktiv_icon

08:49 Uhr, 31.03.2016

Beim äußeren Produkt gibt es laut Wiki. 2 Möglichkeiten:

1. es ist das Kreuzprodukt

2. es ist das Dyadische Produkt

Jetzt musst Du Deinen Dozenten nerven, was er meint!

Er muss Dir darauf eine Antwort geben, sonst beschweren, haben wir auch gemacht, der Typ ist jetzt weg.

reflexion

14:08 Uhr, 31.03.2016

Er schreibt genau diese Fragestellung "Given the vectors a and b below. What is the rank of the outer product

a^{T} b

?

Aber ist

a^{T} b

nicht das innere Produkt?

Für mich wäre das innere Produkt:

a * b = (\begin{array}{rcl} 3 & 2 & 1 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 \end{array}) = 10

Aber was genau ist das äußere Produkt? - Ist das dann

a^{T} * b

bzw. ist das, dass Kreuzprodukt?

reflexion

16:53 Uhr, 31.03.2016

Also ich hab mir das jetzt nochmals durchgedacht!

- das innere Produkt muss in diesem Fall

a * b

sein, da ja nur ne Zahl rauskommen soll also ein Skalar.

- das äußere Produkt muss in diesem Fall

a^{T} * b

sein, da dabei ein Vektor rauskommen soll...

das ergebnis wäre:

ä u ß e r e P r o d u k t = a^{T} * b = (\begin{array}{rcl} 3 & 6 & 9 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{array})

Der Rang des äußeren Produkts wäre somit 3!

-> Liege ich hiermit richtig?

reflexion

18:27 Uhr, 31.03.2016

Sorry, der Rang der Matrix wäre dann 1, weil ich es ja noch in die Treppenform bringen muss und dort die erste Zeile stehen bleibt und die anderen beiden weg fallen, oder?

ledum aktiv_icon

21:41 Uhr, 31.03.2016

Hallo
die Matrix und Rang 1 ist richtig, dazu musst du nicht auf Stufenform bringen, da ja alle Zeilen vielfachen von

b

sind, also proportional.
was mit wundert ist dass du

a^{T} \cdot b

schreibst.
Wenn man Vektoren als einzeilige oder einspaltige Matrices bezeichnet, dann doch meist mit a einen Zeilenvektor, mit

a^{T}

einen Spaltenvektor.
das äußere Produkt mit Ergebnis Matrix ist aber Spalte

\cdot

Zeile, das innere Produkt = Skalarprodukt ist Zeile mal Spalte
wenn du allerdings

a = (3,2,1)

gegeben hat ist

a^{T} \cdot b

wirklich Spalte mal Zeile also eine Matrix.
während

a \cdot b^{t}

ein Skalar ist.
Gruß ledum

reflexion

22:03 Uhr, 31.03.2016

@Ledum

Danke erstmal!

Also das mit dem Rang ist mir klar bei dem Beispiel, aber wäre es ein nicht so einfaches Beispiel müsste ich es ja mit der Treppenform (oder auf englisch "row reduced echolon form") herausfinde? -> Dazu eine Frage, was genau stell die Treppenform dar bzw. was drückt es genau aus in einem Gleichungssystem?

Zum Punkt mit dem inneren und äußeren produkt:

- Also so gesehen ist es mehr eine Definitionssache wie der Vektor gegeben ist, oder wie? Im Prinzip ist es ja so das beim inneren Produkt immer ein Skalar rauskommt, also eine Zahl und beim äußeren produkt ein Vektor. - Aber das ganze ist abhängig ob a als Zeilenvektor/Spaltenvektor und b als Zeilenvektor/Spaltenvektor gegeben ist?

--> Verstehe ich das richtig?

ledum aktiv_icon

22:19 Uhr, 31.03.2016

Hallo Spalte mal Zeile ist immer eine Matrix, Zeile mal Spalte ein Skalar, wenn du die Regeln der Matrixmult. benutzt.
offensichtlich nennt man in deiner Vorlesung das erst outer Produkt wohl weil der "normale(" Zeilenvektor außen = links steht.
(andere nennen es Tensorprodukt)
wenn du 2 normale Vektoren mit dem outer Produkt verknüpfst ist die Matrix immer Rang 1.
um den Rang festzustellen kannst du feststellen wieviele lin unabhängige Zeilen (oder spalten) du hast, das geht

z

b

. mit der Bestimmung des Kerns also

A \cdot x = 0

der hat hier (mit 2 Nullzeilen die

dim 2

also bleibt für den Rang der Matrix nur 1 übrig. oder du siehst durch die 2 Nullzeilen dass nur 1 lin unabh. Zeilenvektor da ist.
Gruß ledum

reflexion

22:40 Uhr, 31.03.2016

Danke für die ausführliche erklärung! ;-)

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