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integrationsgrenzen tauschen

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Integration

Tags: Integration

lisa1106 aktiv_icon

16:00 Uhr, 24.06.2012

Hallo!
Aus welchem Grund darf ich die Integrationsgrenzen so verändern?siehe bild

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

lisa1106 aktiv_icon

16:03 Uhr, 24.06.2012

ich glaub das hat nicht geklappt

lisa1106 aktiv_icon

16:10 Uhr, 24.06.2012

\int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{- \sqrt{1 - 4 y^{2}}}^{\sqrt{1 - 4 y^{2}}} y d x d y = \int_{- 1}^{1} \int_{0}^{\frac{1}{2} \sqrt{1 - x^{2}}} y d y d x

So wieso kann man das machen

funke_61 aktiv_icon

11:31 Uhr, 26.06.2012

wenn Du beide Integrale stur von innen nach aussen auswertest,
(
also zuerst Stammfunktion des inneren Integrals bilden,
dann dessen Grenzen Grenzen einsetzen,
dann aus dem entstandenen Funktionsterm nochmal die Stammfunktion bilden
und dann wieder die grenzen einsetzen
)

dann kommt bei beiden der Wert

\frac{1}{6}

raus.

Probiers mal und fang mit

\int_{0}^{\frac{1}{2} \sqrt{1 - x^{2}}} y d y

an
weil es damit einfacher geht.

(Bei

\int_{- \sqrt{1 - 4 y^{2}}}^{\sqrt{1 - 4 y^{2}}} y d x

musst Du zB.

u = 1 - 4 y^{2}

substituieren, um das Integral zu lösen)
;-)

Diesen Beitrag habe ich

12 : 43

Uhr verbessert und ergänzt

pwmeyer aktiv_icon

12:15 Uhr, 26.06.2012

Hallo,

beide Varianten stellen ein integral über den Halbkreis

x^{2} + 4 \cdot y^{2} \leq 1, y \geq 0

dar. Und zwar einmal als "Normalgebiet" über der x-Achse:

- 1 \leq x \leq 1

und

0 \leq y \leq \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

und als "Normalgebiet über der y-Achse:

0 \leq y \leq \frac{1}{2}

und

- \sqrt{1 - 4 \cdot y^{2}} \leq x \leq \sqrt{1 - 4 \cdot y^{2}}

Gruß pwm

funke_61 aktiv_icon

12:34 Uhr, 26.06.2012

@pwmeyer:
einverstanden, wenn Du in der zweiten Zeile "Halbkreis" durch "Halbellipse" ersetzt
;-)
(oops, ich habe hier auch verbessert, aber jetzt sollte es stimmen)

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