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isomorphe Gruppen wegen Chinesischem Restsatz

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: chinesischer Restsatz, Gruppen, Isomorphie

student11 aktiv_icon

09:23 Uhr, 04.01.2012

Bei uns in der Vorlesung hatten wir zwar den Chinesischen Restsatz kurz angeschaut, um solche Gleichungen zu lösen

x mod m 1 = a 1

x mod m 2 = a 2

x mod m 3 = a 3

Bei der Gruppentheorie haben wir dann die Aussage:

< Z 5; + > x < Z 7; + >

ist isomorph zu

< Z 35; + >

wegen des Chinesischen Restsatzs.
Mit

Z 5

ist die Menge

{0,1,2,3,4}

gemeint. Mit

+

ist die Addition modulo 5 (bzw. modulo die anderen Zahlen) gemeint.

Mir ist so halbwegs klar, dass jede zyklische Gruppe isomorph ist zu der additiven Gruppe mit gleich vielen Elementen, aber ich verstehe nicht wirklich, wieso das Kartesische Produkt der beiden oben genannten jetzt isomorph zu

Z 35

sein soll.
Sie haben gleich viele Elemente, doch es kommt auch noch auf die Ordnung der einzelnen Elemente an, kann man das leicht feststellen oder müsste man da alle Elemente durchprobieren? Inwiefern hat das was mit dem Chinesischen Restsatz zu tun?

Vielen Dank für eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

09:40 Uhr, 04.01.2012

Hallo,

Du hast Paare aus

ℤ_{5} \times ℤ_{7}

. Betrachte Die Abbildung:

ℤ_{5} \times ℤ_{7} \to ℤ_{35}

mit der Zuordnung

(z_{5}; z_{7}) \to z_{35}

nach dem folgenden Prinzip:

z_{35} \equiv z_{5} (mod 5)

z_{35} \equiv z_{7} (mod 7)

Die Lösung existiert nach dem chinesischen Restsatz eindeutig in

ℤ_{35}

. Zu zeigen ist dann "nur noch", dass es sich dabei um einen Isomorphismus handelt...

student11 aktiv_icon

09:47 Uhr, 04.01.2012

also es gibt noch weitere Beispiele, bei denen ich nicht wirklich verstehe, um was es eigentlich geht.

Zum Beispiel das Z7*isomorph ist zu

Z 6

mit Addition ist mir irgendwie klar. Dann heisst es aber, dass Z7*genau

ψ (6) = 2

(eulerfunktion) Generatoren hat. Wieso das?
Ist das immer so? Falls ich eine zyklische Gruppe habe, die dann also isomorph ist zur additiven Gruppe mit gleich vielen Elementen, kann ich die Eulerfunktion dort auswerten und erhlate die Anzahl Generatoren? Wie wäre das denn bei zyklischen Zm* bei denen

m

keine Primzahl (sondern eine ungerade Primzahlpotenz,...) ist. Welche Zahl könnte ich dann in die Eulerfunktion "schicken" um die Anzahl Generatoren zu erhalten?
Wieso funktioniert das?

Wieso ist Z12*isomorph zu

< Z 2; + > x < Z 2; + >

.

Wieso ist

< Z 18 \cdot; \cdot >

isomorph zu

< Z 7 \cdot; \cdot >

. .

.

Sorry, das mit dem Darstellen klappt nicht wirklich, aber wäre euch wirklich sehr dankbar für eure Hilfe. Ich verstehe nicht, wie ich darauf kommen soll. Ich denke, der Knackpunkt wäre Chinese Remainder Theorom, doch auch das habe ich nicht wirklich bis in die Tiefe verstanden, kann es nur anwenden.

Habe auch schon Wikipedia,.. gelesen, doch es steht nichts konkret zu diesem Thema.

Vielen Dank

student11 aktiv_icon

09:52 Uhr, 04.01.2012

Also ich habe noch das Beispiel dass Z105*isomorph ist zu

Z 3 \cdot x Z 5 \cdot x Z 7 \cdot

Das wäre dann nach deinem Beispiel:

z105≡z3

(mod 3)

z105≡z5

(mod 5)

z105≡z7

(mod 7)

..
Doch was bringt mir das konkret?

student11 aktiv_icon

10:12 Uhr, 04.01.2012

Ich hatte auch das Beispiel, dass

< Z \cdot 18; \cdot >

ist isomorph zu

< Z \cdot 7; \cdot >

Z \cdot 18 = {1,5,7,11,13,17}; Z \cdot 7 = {1,2,3,4,5,6}

< 5 > = {5,7,17,13,11,1} = g

ord(5)=6

< 7 > = {7,13,1}

ord(7)=3

< 11 > = {11,13, 17,7,5,1} = g

ord(11)=6

< 13 > = {13, 7,1}

ord(13)=3

< 17 > = {17,1}

ord(17)=2

< 2 > = {2,4,1}

ord(2)=3

< 3 > = {3,2,6,4,5,1} = g

ord(3)=6

< 4 > = {4,2,1}

ord(4)=3

< 5 > = {5,4,6,2,3,1} = g

ord(5)=6

< 6 > = {6,1}

ord(6)=2

Nun habe ich ja 2 Generatoren je, welche sind dann isomorph zu welchen?
Bzw. was ist der Isomorphismus? Den könnte ich beliebig wählen, einfach so, dass die Ordnungen übereinstimmen. Aber egal ob der 5 von

Z \cdot 18

die 5 von

Z \cdot 7

oder die 3 von

Z \cdot 7

zugeordnet wird, oder?

hagman aktiv_icon

10:12 Uhr, 04.01.2012

Der Restesatz zeigt

ℤ_{n} \times ℤ_{m} \approx ℤ_{n m},

falls

(n, m) = 1

.

Dass

ℤ_{p}^{⋆} \approx ℤ_{p - 1}

hat einen einfachen Grund: Jede endliche Untergrupppe der multiplikativen Gruppe eines Körpwers ist zyklisch.
Im allgemeinen gilt

ℤ_{n}^{⋆} \approx ℤ_{φ (n)}

nicht.

student11 aktiv_icon

10:16 Uhr, 04.01.2012

Vielen Dank für deinen Hinweis zum Chinesischen Restsatz. Das war mir nicht bewusst.

Kannst du mir erklären, weshalb gilt, dass Zp* genau

ψ (p - 1)

Generatoren hat? Das gilt ja wahrscheinlich nur für Primzahlen

p

.

Zp* hat genau

p - 1

Elemente, was mir jedoch

ψ (p - 1)

sagt, wäre ja die Ordnung von Zp-1*, was das mit der Anzahl Generatoren zu tun hat, verstehe ich jedoch nicht..

hagman aktiv_icon

10:35 Uhr, 04.01.2012

OK, allgemein: Wieviele Genratoren hat

ℤ_{n}

?
Wenn

0 \leq a < n

und

d = (a, n) > 1,

dann ist auch jedes Vielfache von

a

Vielfaches von

d,

also

\bar{1} \notin < \bar{a} >

.
Ist umgekehrt

d = 1,

dann gibt es

u, v \in ℤ

mit

u \cdot a + v \cdot n = 1,

also ist

\bar{1}

ein Vielfaches von

\bar{a},

mithin

〈 \bar{1} 〉 = 〈 \bar{a} 〉 = ℤ_{n}

.
Also ist die Anzahl der Generatoren von

ℤ_{n}

(oder auch jeder zyklischen Gruppe der Ordnung

n)

genau

φ (n),

die Anzahl der zu

n

teilerfremden Zahlen

< n

.

Somit gilt: Wenn

p

eine Primzahl ist, dann ist

ℤ_{p}^{⋆} \approx ℤ_{p - 1}

zyklisch und hat nach obiger Bemerkung

φ (p - 1)

Generatoren.
Wenn für nichtprimes

m

die Einheiengruppe

ℤ m^{⋆}

"zufällig" trotzdem zyklisch sein sollte, dann ist die Ordnung hiervon genau

φ (m)

und hat ihrerseits laut oben

φ (φ (m))

Generatoren. Also ist auch im Primzahlfall

φ (p - 1)

eigentlich

φ (φ (p))

student11 aktiv_icon

11:14 Uhr, 04.01.2012

dankeschön. :-)

Das ergibt Sinn. Werde mich noch mit der englischen Wikipedia-Seite zu diesem Thema auseinenadersetzen, ich glaube, die gibt da ein wenig mehr her.. Habe nämlich gerade jetzt eine ähnliche Erklärung gefunden..

Könntest du mir noch sagen, weshalb dort die etwas verwirrende Aussage steht:

A group of order

n

is cyclic if and only if for every divisor

d

n

the group has AT MOST ONE subgroup of order

d

. Sometimes the refined statement is used: a group of order

n

is cyclic if and only if for every divisor

d

n

the group has EXACTLY ONE subgroup of order

d

.

Was heisst denn refined, also ist diese Aussage unter jedem Umständen korrekt? Eine Gruppe ist dann und nur genau dann zyklisch, wenn jeder Teiler der Ordnung der Gruppe einmal als Ordnung einer Untergruppe vorkommt? Weshalb dann überhaupt die andere Aussage mit maximal einmal? Gibt es denn eine zyklische Gruppe, bei der ein Teiler nicht vorkommt als Ordnung der Untergruppe?

student11 aktiv_icon

11:44 Uhr, 04.01.2012

So viel glaube ich bis jetzt verstanden zu haben.

Das kartesische Produkt von zwei zyklischen Gruppen Zn und Zm ist genau dann zyklisch, falls

n

und

m

teilerfremd sind. Deshalb ist.Z12 isomorph zu Z3xZ4 aber nicht isomorph zu Z6xZ2. Da

Z 3

und

Z 4

zyklisch sind und 3 und 4 teilerfremd sind, muss Z3xZ4 auch zyklisch sein, und da es nur eine zyklische Gruppe mit

n \cdot m

Elementen gibt, muss

Z 12

isomorph dazu sein.

Aber beispielsweise für

< Z \cdot 105; \cdot >,

wieso ist denn das isomorph zu

< Z \cdot 3; \cdot > x < Z \cdot 5; \cdot > x < Z \cdot 7; \cdot >

und isomorph zu

< Z 2; + > x < Z 4; + > x < Z 6; + >

und schlussendlich zu

< Z 2; + > x < Z 2; + > x < Z 12; + >

.

Das oben genannte gilt für alle zyklischen Gruppen in dem Sinne, also ich kann das direkt auf nicht additiv geschriebene Gruppen anwenden? zum Beispiel:

Z \cdot 12

ist isomorph zu

Z \cdot 3 x Z \cdot 4

? Und

Z 12

ist isomorph zu

Z 3 x Z 4

. Kann ich das direkt ablesen? oder müsste ich zuerst

Z \cdot 12 \in Z 4

und

Z \cdot 2 \in Z 2

und

Z \cdot 4 \in Z 2

umwandeln und dann sagen, dass

Z \cdot 12

isomorph ist zu

Z 4

und

Z 4

isomorph ist zu

Z 2 x Z 2

Z \cdot 105

ist analog begründet isomorph zu

Z ψ (105) = Z 48

. In meiner Lösung wird über das oben genannte argumentiert und schliesslich auf

< Z 2; + > x < Z 2; + > x < Z 12; + >

. Weshalb ist das besser als

Z 48

? Da

Z 48

nicht zyklisch ist, und in zyklische Gruppen "aufgeteilt" werden soll?
Wie komme ich denn systematisch von

Z 48

auf Z2xZ2xZ12, denn diese 3 Zahlen sind ja alles andere als teilerfremd zueinander.

?

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