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kartesisches Produkt - formale Schreibweise

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Kartesisches Produkt, Körper

Ricky23289 aktiv_icon

15:49 Uhr, 12.04.2015

Hallo,

ich habe in meinem Buch als Definition des kartesischen Produkts mit Mengensystemen die folgende Formel stehen:

\prod_{i \in I} X_{i} = {f : I \to ⋃_{i \in I} | f (i) \in X_{i}

für alle

i \in I}

mir wird dabei nicht klar, wo in der Formel die geordneten Paare definiert werden...

- - - - - - - - - - - -

Ich habe das auch versucht mit einem Beispiel durchzugehen (der Einfachheit halber ohne Mengensystem):

I

= {1,2}

X_{1} = {a, b, c}

X_{2} = {x, y, z}

dann lautet die Abbildung:

f : {1,2} \to {a, b, c, x, y, z}

mit

f (1) \in X_{1}

f (2) \in X_{2}

dadurch entstehen geordnete Paare zwischen I und

X_{1}

bzw

X_{2} :

{(1, a), (1, b), (1, c), (2, x), (2, y), (2, z)}

Aber das eigentlich erwartete Ergebnis:

{(a, x), (a, y), (a, z), (b, x), (b, y), (b, z), (c, x), (c, y), (c, z)}

lese ich dort nicht heraus.

Hab ich dabei vielleicht irgendeine Implikation vergessen?

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

ledum aktiv_icon

15:58 Uhr, 12.04.2015

Hallo

i

ch verstehe nicht wie du mit

f (1) \in X_{1}

auf 1 bzw 2 statt a oder

b

oder

c

kommst?

f) 1,2)

ist gar nicht definiert! deshalb weiss ich nicht was du damit willst.
Gruß ledum

Ricky23289 aktiv_icon

22:39 Uhr, 12.04.2015

ich habe im Beispiel ja geschrieben:

f : {1,2} \to {a, b, c, x, y, z}

Und generell ist es ja so, dass durch Funktionen geordnete Paare entstehen in der Form:
( Element_aus_Definitionsmenge, Element_aus_Zielmenge )
Die Definitionsmenge ist I, also

{1,2}

.
Deswegen komme ich auf die geordneten Paare der Form

(1, a), (1, b), . .

.

Also, ich meine, wenn ich eine ganz normale Formel habe:

g : ℤ \to ℕ

g : x \mapsto

x²
Dann würde die Ergebnismenge ja auch aus Tupeln der Form

(ℤ, ℕ)

bestehen(?)

Ich muss auch die Formel ganz oben korrigieren (nach dem

⋃

hatte ich das

X_{i}

vergessen )

\prod_{i \in I} X_{i} = {f :

I→

⋃_{i \in I} X_{i} | f (i) \in X_{i}

für alle

i \in I}

ledum aktiv_icon

23:17 Uhr, 12.04.2015

Hallo

f (1)

ist definiert als ein Element der Menge

X_{1} d, h

f

bildet die Indexmenge I auf Elemente von

X_{i}

ab also

f (1)

kann nicht 1 sein, wenn

X_{1}

nicht das Element 1 enthält. eine der Mengen die da aufgezählt werden ist also

[a, x]

die 1 aus I wird dabei auf a abgebildet die 2 auf

x,

ebenso 1 auf

b

und 2 auf

x

usw.

wenn

g Z

nach

N

abbildet wäre die Ergebnismenge nur die Quadratzahlen aus

N

keine Tupel wie

(- 2,4 =

sondern

g (- 2) = 4

Gruß ledum

Ricky23289 aktiv_icon

16:26 Uhr, 15.04.2015

Hallo,

vielen Dank für die Antwort! Nach einigem hin- und herdenken komme ich der Sache langsam näher, glaube ich.

@Tupel: danke für den Hinweis! Ich hatte das mit den Tupeln der "Funktionsmenge" verwechselt.

Verstehe ich es dann richtig, dass *ausschließlich* der Ausdruck

f (i) \in X_{i}

hier die geordneten Paare erschafft? Und die Zielmenge garnicht angeben muss wieviel "Dimensionen" die Ergebnismenge hat?

D . h

f : ℕ \to ℕ | f (n) \in ℕ

für alle

n \in {1,2}

würde die Menge

{(1,1), (2,1), (1,2), (2,2), ...)

Könnte man also auch sowas schreiben:

f : I \to ⋃_{i \in I} X_{i}

f : i \mapsto X_{i}

und damit auch eine Definition für das Kartesische Produkt erstellen?

D . h

. ich könnte als allgemeine Regel annehmen, dass eine Abbildung auf mehrere Werte (hier hervorgerufen durch

f (i) \in X_{i})

immer in einem geordneten Paar resultieren?

Gruß

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