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kgV und direkte Summe
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Direkte Summe, Eigenwert, kgV, polynom
 
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Die direkte Summe A ⊕ zweier Matrizen A ∈ K^n×n und ∈ K^m×m ist definiert als Matrix: Erste Zeile Zweite Zeile ∈ K^(n+m)×(n+m). Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV(p,q) zweier Polynome ∈ ist definiert als das normierte Polynom ≠ 0 von kleinstmöglichem Grad, für das gilt und . Zeigen Sie: kgV(p, ist eindeutig bestimmt. Für jedes ∈ gilt ⊕ ⊕ . Sind mA,mB die Minimalpolynome von A und so ist kgV(m_A,m_B) das Minimalpolynom von A ⊕ B. Bei weiß ich nicht, wie ich das schön mathematisch beweisen kann. Ist das nicht logisch, dass ein Teiler größer als der andere ist? Bei habe ich momentan p(A)⊕p(B)=p_0+p_1A+...+p_dA^d⊕p_0+p_1B+...+p_dB^d. Aber dann habe ich am dass passt ja dann nicht. Mache ich irgendwas falsch? Haben und unterschiedliche Werte bei ? und bei habe ich gar keine Ahnung. Ich würde mich über jede Hilfe sehr freuen! Ich hoffe es ist alles verständlich. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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b) folgt schlicht aus der Vorüberlegung . > Aber dann habe ich am , Nein! Beim Sonderfall muss man drauf achten, dass mit nicht die Zahl 1 gemeint ist, sondern die Einheitsmatrix derselben Dimension wie . |
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Ok danke, das verstehe ich jetzt! Könnte mir bitte noch jemand bei und helfen? Das würde mir sehr weiterhelfen! |
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Hallo, nun zunächst die Existenz (wenn die nötig ist). Betrachte die Mengen und . Sicher ist nicht leer, da darin enthalten ist. enthält definitionsgemäß alle (von Null verschiedenen) gemeinsamen Vielfachen von und . Behauptung ist, dass es ein Polynom minimalen Grades darin gibt. (Das folgt allein aus der Tatsache, dass die Menge Teilmenge der natürlichen Zahlen ist und als solche natürlich nach unten begrenzt. Es gibt also mit minimalem Grad und oBdA auch normiert, weil sonst mit als (von Null verschiedenen) Leitkoeffizienten von auch gälte und ebenfalls minimalen Grad hat. Nun zur Eindeutigkeit: Sei normiert gegeben mit . Die Annahme, führt dann deswegen zum Widerspruch, da sonst läge und sicher gälte, im Widerspruch zur Wahl von mit minimalem Grad. (Normierung muss man noch beachten, ist aber eine Randnotiz!) Bei c) ist es eigentlich auch recht einfach: b) legitimiert, dass gilt. Damit muss das Minimalpolynom von ein Teiler des kgV sein. Wäre es ein echter Teiler, so könnten wir eine Division mit Rest durchführen: mit . Leider hat aber dann auch die unangenehme Eigenschaft, zu annulieren, was der Minimalität des Grades des Minimalpolynoms widerspricht. Ergo: Kein echter Teiler, also gleich. Mfg Michael |
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Danke für die Antworten! |
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