 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » kgV von Ordnungen sind wieder eine Ordnung
kgV von Ordnungen sind wieder eine Ordnung
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
|
  |
|---|
|
Hallo, Meine Aufgabe lautet: Sei eine abelsche Gruppe und a und zwei Elemente aus mit endlicher Ordnung. Zu zeigen ist, dass es aus dem existiert mit ord(c) = kgV(ord(a), ord(b)). Mein Ansatz bis dato: Der kgV besagt ja, dass man die beiden Zahlen mit jeweils einem Faktor multipliziert und dadurch auf ein gleichen Wert kommt. Darum habe ich als Gleichung kgV(ord(a), ord(b)) ord(a) ord(b) Jedoch weiß ich leider nicht, wie ich darauf kommen soll, dass es ein im gibt, sodass diese Gleichung erfüllt ist Vielen Dank für eure Hilfe LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Hallo, nun, die Ordnung eines Elements ist gleich der Anzahl Elemente in der von erzeugten Untergruppe: Betrachte doch mal . Der Schnitt ist ja auf keinen Fall leer. Mfg Michael |
 |
|
Wie ich es nun verstehe ist in diesem Schnitt mindestens 1 enthalten hab ich recht? Wäre dann im Fall, wenn im Schnitt nur 1 enthalten ist, gleich 1? LG |
|
|
|
Hallo, ok, du bezeichnest das neutrale Element mit, komme ich mit klar. Vielleicht habe ich ein bisschen schnell geschossen, merke ich gerade, da ich schreibe. Mal sehen, was wir von meiner Aussage noch retten können. Beginne mit dem Fall, dass die Ordnungen teilerfremd sind. Da ist doch sicher leicht ein Element zu finden, oder? Falls sie nicht teilerfremd sind (die Ordnungen), wäre es gut, sich aus und je ein Element zu verschaffen, deren Ordnungen zueinander teilerfremd sind. (Hm, nicht viel übrig geblieben vom Durchschnitt... . Bitte um Entschuldigung) Mfg Michael |
|
|
|
Hi, Fall 1: Wenn beide Ordnungen teilerfremd sind, bedeutet es ja, dass die Anzahl der Elemente beider durch die beiden Elemente erzeugten Untergruppen zueinander teilerfremd sind. Wenn ich es jz richtig verstehe kann man dann a und nehmen und indem man ein kgV von a und bildet, erhält man die Zahl oder verstehe ich’s falsch? Fall 2: Beispielhaft sei ein Element in der erzeugten Untergruppe von a und ein Element in der erzeugten Untergruppe von sodass die Ordnung der beiden teilerfremd sind. Wenn wir deren kgV nehmen kriegen wir dann unser oder nicht? Ich frage mich aber dann, wie man dann schon wissen kann dass die Ordnung von die Gleichung erfüllt. Danke für deine Hilfe :-) LG |
|
|
|
Hallo, liest sich bisher ganz gut. So ein paar Dinge müsste man über zyklische Gruppen wissen, dann kommt man eigentlich gut klar. Zum Beispiel (wir reden über endliche Gruppen): Gilt , so folgt . heißt, dass für ein . Desweiteren sei , . Damit ist klar, dass angenommen werden kann. (Sonst teilt man durch mit Rest.) Ebenfalls , da . Aufgrund gibt es mit und (Division mit Rest) Damit folgt mit . Da aber die Ordnung von ist, ist es der kleinste (positive natürliche) Exponent, zu dem zur Potenz erhoben 1 ergibt. Damit muss gelten und damit ein Teiler von sein. Was kann man noch gebrauchen? Bei einer zyklischen Gruppe gibt es zu jedem Teiler (natürlichen) der Ordnung von genau eine Untergruppe mit -vielen Elementen. Insbesondere gibt es zu jedem solchen Teiler auch ein Element in dieser Gruppe, das diese Ordnung hat. Zur ersten Frage: Ist klar, wie man nachrechnet, dass für teilerfremde , gilt? Mfg Michael |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1571186
1571146