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kleinste Ordnung einer nicht abelschen Gruppe

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Tags: Algebraische Strukturen

 
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Stephilein

Stephilein aktiv_icon

15:06 Uhr, 26.10.2010

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Hallo!

Ich bräuchte Hilfe zu einer nicht abelschen Gruppe.


Ich soll angeben, was ist die kleinste Ordnung einer nicht abelschen Gruppe und dazu ein Bsp angeben.


Kann mir jemand weiterhelfen?

Glg Stephanie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

michaL aktiv_icon

16:49 Uhr, 26.10.2010

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Hallo Stephanie,

naja, die triviale Gruppe G={e} ist sicher abelsch.
Alle Gruppen mit Primzahlordnung sind Zyklisch, also insbesondere abelsch, wegen der Potenzgesetze.
Die erste Zahl, die da aus dem Raster fällt, ist die 4. Wenn sie nicht abelsch sein soll, dann darf sie erst recht nicht zyklisch sein (denn dann wäre sie ja insbesondere abelsch). Also darf es kein Element mit Ordnung 4 geben. Da Elementordnungen Teiler der Gruppenordnung sein müssen, bleiben als Ordnungen nur 1 (neutrales Element) und 2. Insbesondere gilt also für alle Elemente x: x2=e Daraus kann man folgern, dass diese Gruppe auch abelsch sein muss. (Ist sogar heute oder gestern hier besprochen worden.)
Dann bleibt als nächste Nichtprimzahl die 6. Zufälligerweise ist 6=3!. Die S3 hat 6 Elemente. Sie ist nicht abelsch! (Was man natürlich an einem Beispiel belegen müsste...)

Mfg Michael
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hagman

hagman aktiv_icon

17:42 Uhr, 26.10.2010

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Allein, um zu fomulieren " G ist nicht abelsch" braucht man relativ viele Elemente:
Du brauchst a und b mit ab≠ba.
Dann gilt gewiss a≠1 und b≠1 und a≠b und a≠b-1, denn mit sich selbt und 1 und dem eigenen Inversen kommutieren Elemente ja durchaus.
Insbesondere ist c:=ab weder =a noch =b noch =1, entsprechendes gilt für d:=ba. Zudem gilt c≠d, denn darum geht es ja gerade.
Somit muss G schon einmal die 5 gewiss verschiedenen Elemente 1,a,b,c,d enthalten.

Wie sieht es mit a2 aus? Es ist gewiss ≠a, denn a≠1. Ferner a2≠b, denn sonst ab=ba. Ferner a2≠ab und ≠ba, da sonst a=b. Denkbar ist hingegen a2=1 (also a-1=a). Allerdings muss dann |G| gerade sein, also mindestens 6 (und wenn a2≠1, dann erst recht |G|≥6, da a2 ein neues Element ist).
Somit wäre 6 die kleinste denkbare Ordnung einer nicht-abelschen Gruppe.

Kannst du eine soclhe angeben? (Tipp: Wenn man noch a2=b2=1 annimmt, ist die Multiplikationstabelle mittlerweile fast komplett)
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