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kleinster Abstand Punkt-Gerade
Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe
Tags: Gerade, kleinster Abstand, Punkt
 
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Hey. Ich muss den "kleinsten" Abstand zwischen einer Gerade und einem Punkt berechnen und sagen an welchem Punkt sich dieser Abstand auf der Geraden befindet. Den normalen Abstand hab ich schon. Mein Ansatz: Zunächst habe ich mir gedanken darüber gemacht, was denn nun der kleinste Abstand sein könnte. Der kleinste Abstand müsste ja eine Senkrechte (mit dem Ortsvektor des Punktes) zur Gerade sein. Ich müsste also eine Gerade aufstellen mit dem Punkt und der Senkrechten. Wie ich das machen soll, weiß ich noch nicht. Anschließend müsste ich diese Gerade mti der anderen Gerade gleichsetzen und den Schnittpunkt berechnen. Aber ich weiß nicht, wie ich die Gerade aufstellen soll und ob mein Ansatz richtig ist. Vielen Dank im Vorraus Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ebene Geometrie - Einführung Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) |
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niemand kann mir helfen. |
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relativ einfach geht das im 2-dimensionalen: da kannst du ja einfach den Normalenvektor zu deiner Geraden als Richtungsvektor verwenden & dann beide Geraden schneiden.... |
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Im 3-dimensionalen verwendest du den Richtungsvektor der gegeben Geraden als Normalenvektor einer (neuen) Ebene die durch den anderen Punkt (der nicht auf der Geraden liegt) geht, dann schneidest du Ebene und Gerade ("zackdaddeldu"). |
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Das funktioniert nicht ganz. Ich habe nun die beiden Geraden Gleichgesetzt. Mein Taschenrechner sagt: No solution. Das bedeutet, dass die Geraden parallel zueinander sind oder windwschief zueinander sind. Ich vermute jedoch die erstere Variante, da ja nun der Richtungsvektor beider Geraden gleich ist. So einfach scheint die Aufgabe garnicht zu sein...
Ach. Ich muss eine Ebene bilden? Aus der gegebenen Gerade? Entschuldigung. Ich probier das mal erneut. |
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Ich habe Ihre Antwort erst jetzt verstanden. Vielen Dank. Und entschuldigung, dass ich Sie zuvor gedutst habe. Liebe Grüße :-) |
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Wir Duzen uns hier alle, das wäre ja wohl auch noch schöner... Hast du denn nun ein oder Problem? Aber jetzt beide Varianten eingesehen? |
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Es ist ein 3-Dimensionales Problem. Ich habe jetzt eine Ebene und eine Gerade aufgestellt. Jedoch muss jetzt erstmal die Ebene in Normalen-Form in Parameterform umwandeln, damit ich die Ebene mit der ursprünglichen Gerade gleichsetzen kann. Ihre Antworten haben mir sehr geholfen. Ich bin neu hier, daher kenne ich mich hier nicht so gut aus :-) Ich danke Ihnen! |
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DU kannst auch die Parameterform der Geraden in DEINE Normalenform einsetzen und kommst dann auf den konkreten Parameter für die Gerade. Also für das in der Normalenform den Parameterterm der Geraden einsetzen. DU |
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Ja. Du:-) Ich habe nun den Punkt auf der Ursprnugs-Gerade an dem der kleinste Abstand zur Geraden ist herausgefunden. Nun fehlt mir immernoch der kleinste Abstand als Zahl. Ich werde nun einen Vekor mithilfe der Punkte bilden. Der Betrag müsste mir dann anschließend den Abstand geben, denke ich. Ich danke Dir nochmals. :-) Jetzt freue ich mich auch schon auf die Vorprüfung in Mathe. |
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Ich habe jetzt eine sehr gute Lösung herausbekommen. :-) Die Lösung scheint zu stimmen. Komisch ist jedoch, dass ich eine falsche Lösung herausbekommen habe, indem ich die Normalenform in die Parameterform umgewandelt habe. Wahrscheinlich habe ich mich dort verrechnet. Die Gerade sofort in die Normalenform einzusetzen wäre mir nie eingefallen. Die Idee spart echt viel Zeit und wird mir bestimmt auch in der Vorprüfung viel Zeit sparen lassen. Vielen Dank nochmals. Nun bin ich zufrieden. :-) |
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Eine Anmerkung vielleicht noch zu deiner Formulierung "kleinster Abstand zwischen Punkt und Gerade". Was du wohl meinst ist die kleinste Entfernung, denn der Abstand ist bereits als kleinste Entfernung definiert. Insofern wäre eine weitere recht unkomplizierte und schnelle Möglichkeit auch noch einfach einen allgemeinen Term für die Entfernung von (außerhalb der Geraden) zu (ein allgemeiner Punkt der gegebenen Geraden) aufzustellen und das dann als Funktion in Abhängigkeit von aufzufassen und zu minimieren (Tiefpunkt bestimmen). |
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Ich bemerke gerade, dass ich nur den Punkt auf der Geraden angeben sollte, an dem der Abstand der kleinstmöglichste zum Punkt ist. Und ich glaube ich habe daher Doppelt-gerechnet. Nochmal eine Zeitverschwendung dazu. Der kleinstmöglichste Abstand ist also schon das Ergebnis mithilfe des einsetzens der Geraden in die neu-gemachte Ebenen-Normalenform. Diese Normalenform besteht aus dem Puntk (außerhalb der Ebene) und dem Richtungsvektor der gegebenen Ebene als Normalenvektor.
Eine Lösung hab ich schon. :-) |
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Davon war ich eig. sowieso ausgegangen. Ansonsten hättest du ja einfach die Hessesche Normalenform verwenden können (kennst du doch oder? Ist bei Abständen recht hilfreich) |
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Ja. Weißt du, was witzig ist. Ich hab mal rummgeblättert und geguckt was ich davor gerechnet habe. Ich hab genau dieselbe Formel aufgeschrieben. Aber ich hab nie realisiert, dass die Formel, dei wir verwenden, indirekt die Hessische Normalenform ist. Jetzt habe ich die Herleitung der Formel gelernt. Dank Dir. Und zuvor hatte ich auch eine falsche Lösung raus, wahrscheinlich war es ein Tippfehler. Aber jetzt kenne ich die Herleitung und ich habe auch die richtige Lösung. Danke dir.
In Mathe hab ich eig. Punkte. Aufgrund der Probleme hatte ich heute schon angefangen an mir zu zweifeln.. |
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G. Abend! Edit: Hab mit dem Beitrag angefangen, als noch kaum Antw. da waren; jetzt ist viell. manches obsolet, sorry! :( Aber anders. ist es großteils ein altern. Weg u. das kann auch interess. sein... :-) --- Wie ist die Gerade defin.? In Param.- o. Normalform? Je nachdem ist die Lösungmethode verschieden, wobei die 1.Form sowohl räumliche wie ebene Aufg. zuläßt, die 2. dagegen nur in der Ebene "funkt." Ich geh mal von der allgem. Param.form aus. Der Ansatz mit den sich schneid. Geraden ist prinzip. schon richtig, aber viell. etwas aufwendig (Edit: insbes. wenn man Ebenen berücksichtigt). Es geht auch ohne, dazu aber ein paar (zusätzl.) Definit.: Seien A mit dem Ortsvektor der Startpkt. der Geraden sowie deren Richtg.vektor; ferner der Verbind.vektor von P zum Fußp. Q (Ortsvektoren bzw. ) u. s der Abstand von Q zu A. Dann gilt: . Die Rechtwink. von u. wird durch skal. Multipl. dieser Gl. mit eingeführt: , mit . Die Ausführung u. anschl. Umformung führt dann zu: , mit Der gesuchte Abstand PQ ist dann der Betrag des Vektors u. s der Abstand AQ. Freilich muß dazu u. gegeben sein, was aus der Frage nicht hervorgeht, aber ohne dem ist ja die Gerade nicht defin. Nat. kann auch durch die Diff. zweier Punkte auf g: ersetzt werden. Gutes Gelingen! -GA |
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