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kleinstes und minimales Element
Universität / Fachhochschule
Relationen
Tags: Extremal, Mengenlehre, Relation.
 
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Hallo, ich stehe zur Zeit bei folgendem Problem total auf dem Schlauch: Ich soll für eine geordnete Menge M zeigen oder widerlegen, dass 1) sei M außerdem eine Menge und x das einzige minimale Element. Ist x dann auch das kleinste Element in M? 2) sei M außerdem eine Menge und x das einzige minimale Element. Ist x dann auch das kleinste Element in M? Ich habe mittlerweile ein Beispiel konstruiert, mit dem ich zeigen kann, dass 1) nicht wahr, aber dann würde 2) direkt ebenfalls nicht wahr sein, weil 2) allgemeiner formuliert ist... ich kann mir aber nicht vorstellen, dass das so einfach sein soll und daher bin ich mir mit meinem Beispiel unsicher :-D) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Nenn doch mal dein Gegenbeispiel zu 1). |
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Definition: In einer "total" geordneten Menge stimmen die Begriffe maximales Element und größtes Element sowie minimales Element und kleinstes Element überein. Ein maximales bzw. minimales Element einer "geordneten" Menge ( partiell geordnet )ist jedoch nicht automatisch deren größtes bzw. kleinstes Element. |
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Das was du dort zitiert hast, hab ich auf Wikipedia auch bereits gefunden. Nur leider befinde ich mich einerseits in einer geordneten Menge (ist ja nicht dasselbe aufgrund der Antisymmetrie) und andererseits erklärt mir das immer noch nicht so ganz, wieso das der Fall ist. Mein Beispiel wäre: Pot({1,2,3})\{{1},{3},{}} mit der Teilmengenrelation (siehe Bild). {2} wäre hier einziges minimales, aber kein kleinstes Element.  |
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ist ebenfalls minimal, also ist das kein Gegenbeispiel. Es kann auch gar kein Gegenbeispiel geben, weil 1) richtig ist, nachweisbar z.B. per Vollständiger Induktion über die Mengengröße . |
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@HAL9000 Ich hab mittlerweile auch entdeckt, dass mein Gegenbeispiel nicht funktioniert weil {1,3} dann auch ein minimales Element wäre, trotzdem danke für die Bestätigung. Mit Hilfe der vollst. Induktion den Beweis zu führen fällt mir da ehrlich gesagt recht schwer. Ich weiß, dass ich anfangen könnte mit |M| = 1. So habe ich nur ein einziges Element, welches aufgrund der Reflexivität mit sich selbst in Verbindung steht. Dieses eine Element ist sowohl das einzig minimale Element und da es mit "allen" anderen in Verbindung steht, auch das kleinste. (Analog hier natürlich auch maximal und größtes). Für den Induktionsschritt würde ich dann natürlich |M| = 2 setzen, aber ich wüsste hier schon nicht mehr wie ich das formulieren geschweige denn beweisen kann, dass es für n = 2 auch gilt. |
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Ja, Induktionsbeweise für Summenformeln und vielleicht mal eine Ungleichung, das wird in der Schule behandelt ... dann ist meist finito. Aber Vollständige Induktion ist zu so viel mehr nützlich. ---------------------------------------------- Beweisskizze für den Induktionsschluss , anwendbar für alle : Sei eine Menge mit Elementen, welche den genannten Bedingungen genügt, d.h., ist das einzige minimale Element. Wir wählen nun irgendein Element und entfernen es aus der Menge, d.h., wir betrachten die Menge . Da kein minimales Element von ist, gibt es ein mit , außerdem ändert sich deshalb durch das Entfernen von nicht die Menge der minimimalen Elemente, diese ist für und daher gleich. Somit einziges minimimales Element von , wegen dürfen wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden, die liefert dann für alle . Speziell gilt das auch für , so dass wir haben, also . Somit gilt sogar für alle , und das war ja hier im Induktionsschritt zu beweisen. |
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Ist damit Teil 1 bewiesen? Ich würde auch gerne wissen wie man Teil 2 löst. Wie kann ich ein Beispiel so auswählen das das minimale auch kein kleinstes Element ist? |
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Wenn du die erste Frage nicht selbst beantworten kannst, hast du den Beweis oben nicht genug durchdacht. Zu 2) Nehmen wir als Ordnung wie oben bei dir die Teilmengenbeziehung, aber bezogen auf folgendes System von Teilmengen von : sowie die Mengen für alle Dann ist nur eine minimale Menge, aber offenkundig nicht kleinste Menge. |
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@HAL9000 Danke für deine Hilfe! Habe mich mit beiden Aufgaben die letzten Tagen nochmal ordentlich auseinandergesetzt und nun verstanden! :-) Vor allem die 2) war nach gründlichem Nachdenken gut verständlich Grüße |
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@HAL9000 Danke für deine Hilfe! Habe mich mit beiden Aufgaben die letzten Tagen nochmal ordentlich auseinandergesetzt und nun verstanden! :-) Vor allem die 2) war nach gründlichem Nachdenken gut verständlich Grüße |
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@HAL9000 Danke für deine Hilfe! Habe mich mit beiden Aufgaben die letzten Tagen nochmal ordentlich auseinandergesetzt und nun verstanden! :-) Vor allem die 2) war nach gründlichem Nachdenken gut verständlich Grüße |
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