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komme bei dieser aufgabe nicht an die Lösung

Universität / Fachhochschule

Tags: geschwindigkeitsaufgabe, Zeitberechnung

Ben-21 aktiv_icon

02:37 Uhr, 23.07.2024

Birgit radelt von Bogenfeldennach Mariahofen. Fürdie

15

km lange Strecke benötigt sie aufdem Hinweg mit Rückenwind

10

Minuten wenigerals auf dem Rückweg mit Gegenwind. In beide Richtungen führe sieohne Wind mit jeweilskonstanter Geschwindigkeit, aberauf dem Rückweg erreicht sie nur

\frac{4}{5}

der Geschwindigkeit des Hinwegs. Wie groß ist ihre durchschnittliche Geschwindigkeit?

(A)

15km/h

(B' 18

km/h

(C)

20km/h

[D) 24

km/h

Da es multiple choice ist, hab ich alles einfach ausprobiert, ist aber natürlich nicht Sinn der Sache, wie errechne ich die Aufgabe am schnellsten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

06:21 Uhr, 23.07.2024

Hallo,

der Hin- und Rückweg (

s_{1}, s_{2}

) sind beide 15 km lang. Die Geschwindigkeiten kann man in km/h angeben. Dabei sind z.B. 10 Minuten gleich eine

\frac{1}{6}

Stunde.

s_{1} = s_{2}

v_{1} \cdot t_{1} = v_{2} \cdot t_{2}

>> benötigt sie auf dem Hinweg mit Rückenwind 10 Minuten weniger als auf dem Rückweg<<
Somit ist

t_{1} = t_{2} - \frac{1}{6}

. Und die Geschwindigkeit auf dem Rückweg ist

\frac{4}{5}

der Geschwindigkeit des Hinwegs, also ist

v_{2} = \frac{4}{5} v_{1}

. Einsetzen:

v_{1} \cdot (t_{2} - \frac{1}{6}) = \frac{4}{5} v_{1} \cdot t_{2}

Hier kann man die Gleichung durch

v_{1}

t_{2} - \frac{1}{6} = \frac{4}{5} t_{2}

Und nach

t_{2}

auflösen.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist dann

\bar{v} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{30}{t_{1} + t_{2}}

Gruß
pivot

michaL aktiv_icon

11:05 Uhr, 23.07.2024

Hallo,

qualifizierte Antwort hast du ja schon erhalten. Trotzdem möchte ich noch meinen Senf dazu geben, angesichts der anderen Frage erscheint mir eine bloße Angabe der Lösung samt Lösungsweg zu wenig zu sein.

Bei Aufgaben dieser Art (Textaufgaben) geht es überhaupt erst einmal darum, daraus Mathematik zu machen.
Man fährt (zumindest bei so einfachen Aufgaben wie dieser und der unter www.onlinemathe.de/forum/Keine-Ahnung-wie-man-das-rechnet geposteten) bei dieser Art der Aufgaben meist am besten, wenn man

SCHRITT 1: Variablen einführt.

So wenige Variablen wie möglich, so viele wie nötig. Meist ist gut beraten, Variablen dafür einzuführen, wonach gefragt ist.
In diesem Fall (Durchschnittsgeschwindigkeit) würde ich die beiden Geschwindigkeiten mit Wind bzw. gegen den Wind nehmen:

v

sei die von Birgit MIT Rückenwind erreichte Geschwindigkeit in km/h (Hinweg).

w

sei die von Birgit GEGEN den Wind erreichte Geschwindigkeit in km/h (Rückweg).

Jetzt kommt fachfremdes (aber im Alltag bekanntes) Wissen:

s = v \cdot t

(mit Weg

s

in km,

v

Geschwindigkeit in km/h und

t

Zeit in h)

Daraus ergeben sich:

s_{v} = v \cdot t_{v}

s_{w} = w \cdot t_{w}

Nun verknüpfen wir die beiden Gleichungen durch die beiden zahlenmäßigen Informationen im Text:

s_{v} = s_{w} = 15

(km) und

t_{v} = t_{w} - 10

(Minuten)

Damit wir das nutzen können, setzen wir zunächst

s_{v} = s_{w} = 15

ein, formen die Gleichungen nach

t_{v})

bzw.

t_{w}

um und nutzen dann die Verknüpfung:

\frac{15}{v} = t_{v} = t_{w} - 10 = \frac{15}{w} - 10

(Minuten)

SCHRITT 2: Gleichung(en) aufstellen
Die erste (arbeitsreichere) Gleichung zwischen den gesuchten Größen

v

und

w

haben wir schon:

\frac{15}{v} = \frac{15}{w} - 10 (Minuten) = \frac{15}{w} - \frac{1}{6} (Stunden)

Eine zweite ist im Text einfacher kodiert:

w = \frac{4}{5} v

Dadurch erhält man ein Gleichungssystem:

\frac{15}{v} - \frac{15}{w} = - \frac{1}{6}

\frac{4}{5} v - w = 0

SCHRITT 3: Man löse das Gleichungssystem und erhält (im Wesentlichen) die gesuchte Lösung.

In diesem Fall würde ich

w = \frac{4}{5} v

in die erste Gleichung einsetzen:

- \frac{1}{6} = \frac{15}{v} - \frac{15}{w} = \frac{15}{v} - \frac{\frac{75}{4}}{v} = - \frac{\frac{15}{4}}{v} \overset{}{\Leftrightarrow} v = \frac{90}{4} = \frac{45}{2} = 22, 5

Daraus ergäbe sich

w = \frac{4}{5} v = \frac{4}{5} \frac{45}{2} = 18

.

Die Durchschnittgeschwindigkeit muss also in der Nähe des arithmetischen Mittels liegen, sodass nur 20 km/h infrage kommen.
Exakt würde man nun doch die benötigten Zeiten

t_{w} = \frac{15}{18}

und

t_{v} = t_{w} - \frac{1}{6}

und schließelich

t_{v} + t_{w} = 1, 5

berechnen und daraus die durchschnittliche Geschwindigkeit

\overline{v} = \frac{30}{1, 5} = 20

.

Auf die lange Antwort zurückblickend möchte ich mich bei pivot entschuldigen, bei dem meine Antwort so ankommen könnte, ich hielte sie für verbesserungswürdig. So ist meine Antwort nicht gemeint. Mri geht es ausschließlich um die dreischrittige Methode.
Zweitens würde ich wohl (wie pivot) die 10 Minuten aus Gründen der Klarheit jetzt auch sofort in Stunden umwandeln.

Und drittens frage ich mich schon, welcher Studiengang derartige Aufgaben erfordert (werden hier in Nds in der 8. Klasse bearbeitet).
Bist du dir sicher, dass du dem Mathematikanteil deines Studienganges gewachsen sein wirst?

Mfg Michael

KL700 aktiv_icon

11:56 Uhr, 23.07.2024

Ich komme auf diese Gleichungen:

w =

Windgeschwindigkeit

1.

(v + w) \cdot t + (v - w) \cdot (t - \frac{1}{6}) = 30

v \cdot t + \frac{4}{5} \cdot v \cdot (t + x) = 30

Ich komme dann nicht weiter.

Kann mir jemand helfen bzw. den Fehler nennen?

Enano

14:03 Uhr, 23.07.2024

>Kann mir jemand helfen bzw. den Fehler nennen?

Bei der 1. Gleichung müssten es

+ \frac{1}{6}

anstatt

- \frac{1}{6}

sein.
Bei der 2. Gleichung hast du den Rückenwind nicht berücksichtigt.

Ben-21 aktiv_icon

16:04 Uhr, 23.07.2024

Danke euch allen für eure Antworten, da ich nur mein BWL Studium ab Oktober beginne hoffe ich, dass die Mathe nicht zum großen Problem für mich wird. Die einzige Schwierigkeit für mich in der Mathe durch meine Schullaufbahn hinweg, war das Aufstellen von Gleichungen, da mir da das Grundverständnis einfach stark fehlt, auch wenn Themen oft aufeinander aufbauen, habe ich es zumindest in der Oberstufe geschafft, dass diese Lücke nicht zum Problem wurde. Hatte schlechtesten

12

Punkte meistens mehr, aber das hat mir denke ich eine falsche Auffassung von meinen Mathe Kenntnissen gegeben, die ich jetzt schleunigst aufholen möchte, nur weiß ich nicht wie ich mir diese Grundlegenden Dinge, am besten aneignen kann.

KL700 aktiv_icon

16:51 Uhr, 23.07.2024

Im 2. Fall gibt es keinen Wind.

"In beide Richtungen führe sie ohne Wind mit jeweils konstanter Geschwindigkeit"

Enano

19:06 Uhr, 23.07.2024

>Im 2. Fall gibt es keinen Wind.

Ich interpretiere den Aufgabentext so: "... aber auf dem Rückweg erreicht sie (durch den Gegenwind) nur

\frac{4}{5}

der Geschwindigkeit des Hinwegs."

Nach deiner Interpretation wären dann aber 22,5Km/h und 18km/h falsch, weil

\frac{18}{22,5} = \frac{4}{5}

und die tatsächliche Windgeschwindigkeit müsste dann Null sein, was aber dem ersten Satz des Aufgabentextes widerspricht.

Randolph Esser aktiv_icon

19:09 Uhr, 23.07.2024

Seien

t_{h}, t_{r}, v_{h}, v_{r}

Zeit und Geschwindigkeit für den Hin bzw. Rückweg und

v_{d}

die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Dann kann man folgende Gleichungen formulieren:

15 = v_{h} t_{h},

15 = v_{r} t_{r},

t_{h} = t_{r} - \frac{1}{6},

v_{r} = \frac{4}{5} v_{h},

v_{d} = \frac{30}{t_{h} + t_{r}}

.

Gleichung 1 und 2 gleichsetzen und dann

mit den Gleichungen 3 und 4 substituieren liefert

v_{h} t_{h} = v_{r} t_{r} \approx \approx > t_{h} = \frac{4}{5} t_{r}

\approx \approx > t_{r} - \frac{1}{6} = \frac{4}{5} t_{r} \Leftrightarrow t_{r} = \frac{5}{6}

.

Damit ergibt sich dann

t_{h} = \frac{2}{3}

und damit dann

v_{d} = \frac{30}{\frac{2}{3} + \frac{5}{6}} = \frac{180}{9} = 20

.

Außerdem gilt noch

v_{h} = 22,5

und

v_{r} = 18

1587181

1587158

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