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kommutativer Ring
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Körper
 
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hallo da bin ich wieder und bräuchte mal wieder eure hilfe. a) Zeigen oder widerlegen sie: (Z²,+,x) (+,x sind in einem kreis geschrieben) mit (a1,a2)+(b1,b2):=(a1+b1,a2+b2) und (a1,a2)x(b1,b2):=(a1*b1,a2*b2) für ai,bi€Z ist kommutativer Ring. b) widerlegen sie die Aussage: Sei R ein Ring mit additiv neutralem Element 0R (für alle a,b€R mit ab=0R gilt a=0R oder b=0) --> R ist Schiefkörper. 1,2,i,r sind als index gemeint wäre wirklich schönn wen mir jemand helfen könnte |
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Hallo stipsie generell gilt: ein mathematisches Objekt wird definiert durch Eigenschaften, die dieses Objekt hat. Wenn man nun nachweisen soll, ob ein bestimmtes Ding auch ein solches Objekt ist, dann muss man ganz einfach zeigen, dass dieses Ding alle geforderten Eigenschaften hat. Wenn ja, ist das Ding eines der fraglichen Objekte, sonst nicht. Nun wird ein Ring (das fragliche Objekt) ja definiert als eine Menge von Elementen, welche folgende Eigenschaften haben: I) Es ist eine "Addition" und eine "Multplikation" definiert, die eindeutug zu je zwei Elementen a und b eine Summe (a+b) resp. ein Produkt (a*b) zuteilt. Die Summe und das Produkt müssen dann jeweils auch in der Menge liegen. Das Summenzeichen muss nicht unbeding ein "+" sein, es kann irgendein Zeichen sein, zum Beispiel ein Plus-Zeichen in einem Kreislein. Das gilt selbstverständlich auch für das Multiplikationszeichen. II) Der Ring ist bezüglich der Addition ein e kommutative Gruppe (Auch dazu gibt es ganz einfach ein paar Gesetze, die erfüllt seine müssen, die kennst du ja sicher. Assoziativität, Kommutativität, Vorhandensein eines neutralen Elements (meist als Null bezeichnet), Vorhandensein eines zugehörigen negativen Elementes für jedes Element der Gruppe) III) Die Multiplikation ist assoziativ IV) Es gelten die rechts- und linksseitigen Distributivgesetze. Wenn zusätzlich noch das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt, dann heisst der Ring kommutativ. Um die erste Aufgabe zu lösen, brauchst du also nur zu überprüfen, ob diese Gesetze gelten. Dabei darst du immer voraussetzen, dass Z selber ein kommutatibver Ring ist. Als Beispiel: zu zeigen, dass die Addition assoziativ ist. Ich schreibe mal $ an Stelle des Pluszeichens im Kreislein. Zu zeigen ist also dieses: ((a1,a2) $ (b1,b2)) $ (c1,c2) = (a1,a2) $ ((b1,b2) $ (c1,c2)) Dazu musst du einfach über die Definition der Addition gehen, dann in Z das Assoziativgesetz anwenden und wieder zürück in die betrachtete Menge gehen: Dann macht man also dieses: ((a1,a2) $ (b1,b2)) $ (c1,c2) = einfach die Definition anwenden (a1+b1,a2+b2) $ (c1,c2) = nochmals die Definition anwenden ((a1+b1)+c1,(a2+b2)+c2) = und jetzt das Assoziativgesetz der Ganzen Zahlen anwenden (a1+(b1+c1),a2+(b2+c2)) = Wieder die Definition von $ anwenden (a1,a2) $ (b1+c1,b2+c2) = Wieder die Definition von $ anwenden (a1,a2)$((b1+b2)$(c1+c2)) Damit ist die Assoziativität gezeigt, indem man sich auf die Assoziativität von Z bezogen hat. Das musst du nun für alle Gesetze einzeln machen. Also eine reine Fleissarbeit. Übrigens: der betrachtete Ring ist nicht Nullteilerfrei! Wenn du (a,0) und (0,b) miteineander "multiplizierst", bekommst du (0,0), also das neutrale Element der Addition, obwohl weder (a,0) noch (0,b) das neutrale Element der Addition ist. Alles klar? Zur zweiten Aufgabe äussere ich mich auch gleich in Kürze. Gruss Paul |
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Hallo stipsie noch die Aufgabe b) Dazu genügt es, ein Gegenbeispiel zu finden. Davon gibt es aber abermillionen. Zum Beispiel bilden die Ganzen Zahlen einen Nullteilerfreien Ring. Trotzdem sind die Ganzen Zahlen kein Körper, weil ja die inversen Elemente der Multiplikation zu grössten Teil fehlen. 1/2 ist ja keine ganze Zahl. Anders gesagt: es gibt keine Ganze Zahl mit x mit 2 * x = 1 Genau das müsste aber in einem Körper gelten. Alle geraden Ganzen Zahlen bilden einen Nullteilerfremden Ring (ohne Einselement), aber trotzdem keinen Körper. Alle 3er-Zahlen bilden einen Nullteilerfremden Ring (ohne Einselement), aber trotzdem keinen Körper. Alle 4er-Zahlen bilden einen Nullteilerfremden Ring (ohne Einselement), aber trotzdem keinen Körper. Alle 5er-Zahlen bilden einen Nullteilerfremden Ring (ohne Einselement), aber trotzdem keinen Körper. und so weiter und so fort. Die erwähnten abermillionen Gegenbeispiele! Alles klar? Gruss Paul |
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wow vielen dank, aber was meinst du mit "Das musst du nun für alle Gesetze einzeln machen" ? und das beispiel was du mir gebracht hast, ist nur ein bsp.? zu besseren vorstellung, ja? bei meiner aufgabe kann ich das c jetzt nicht mit rein bringen, oder?! und das was du bei b geschrieben hast, ist ja noch nicht alles, da muss ich dann noch weiter denken,,oder?! |
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Hallo stipsie gemeint sind die Gesetze, die ich oben unter I) bis IV) aufgeschrieben habe und die garantiert auch in eurem Skript stehen. Die Gruppe selber hat natürlich auch ihre Gesetze, welche die Gruppe eben zu einer Gruppe im mathematischen Sinn macht. Auch diese Gesetze solltest du im Skript mal suchen und lernen. Das mit dem Assoziativgesetz ist nicht nur ein Beispiel, sondern genau ein Teil deiner Aufgabe. Warum meinst du denn, dass du c nicht ins Spiel bringen darfst? Das Assoziativgesetz braucht ja 3 Elemente. Die müssen allerdings nicht notwendigerweise verschieden sein. Wenn der Ring weniger als 3 Elemente enthält, dann müssen sogar mindestens zwei Elemente des Assoziativgesetzes gleich sein. Es gibt ja z.B. auch einen Ring mit nur 2 Elementen, 0 und 1 mit folgenden Additions- und Multiplikationsdefinitionen: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 Auch hier gilt das Assoziativgesetz: (a+b)+c=a+(b+c), welches man nachweisen kann, indem man einfach alle 27 Kombinationen ausprobiert. Z.B. (0+0)+0 = 0+0 = 0 aber auch 0+(0+0) = 0+0 = 0, also das Gleiche wie (0+0)+0 oder (1+1)+1 = 0+1 = 1 aber auch 1+(1+1) = 1+0 = 1, also das Gleiche wie (1+1)+1 Zur zweiten Aufgabe: nein, die ist so fertig. Vielleicht kannst du ja noch hinzufügen, dass die 0 aus den Beispielen gerade das 0R ist. Alles klar? Gruss Paul |
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ok dann zu a) (a1,a2)+(b1,b2):=(a1+b1,a2+b2) die ist dann zu beweisen und die zweite zu wiederlegen?! (a1,a2)+(b1,b2):=(a1+b1,a2+b2) ist ein kommutativer Ring, weil und jetzt wende ich die gesetze an, oder wie? aber da komm ich net weita und bei der 2 ich meine damit b) meinst du die ist fertig und ich soll das mit der 0 noch schreiben aber bei b) steht doch gar nix mit 0! |
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Hallo stipsie zuerst mal zu b). Die ist weniger aufwendig als a) Es ist ja von einem 0R in der Aufgabe die Rede. Also mal der Ring der geraden ganzen Zahlen: Die geraden ganzen Zahlen bilden einen Ring (weisst du, warum ich das behaupten darf?), und zwar ist die 0 das neutrale Element der Addition. Hier ist also 0R = 0. Das hatte ich gemeint. Und bei den geraden ganzen Zahlen gilt ja: wenn a*b = 0 ist (a und b sind also geraden Zahlen), dann kann ich schliessen, dass a = 0 ist oder b = 0 ist. Obwohl ich das messerscharf schliessen kann, bilden die geraden ganzen Zahlen KEINEN Ring. Warum das so ist, habe ich oben bereits erläutert. 1/2 ist keine ganze Zahl. Alles klar, zur Aufgabe b) ? Sobald zu b) alles klar ist, gehen wir dann zu a) Gruss Paul |
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so das ist also die antwort zu b) noch die Aufgabe b) Dazu genügt es, ein Gegenbeispiel zu finden. Davon gibt es aber abermillionen. Zum Beispiel bilden die Ganzen Zahlen einen Nullteilerfreien Ring. Trotzdem sind die Ganzen Zahlen kein Körper, weil ja die inversen Elemente der Multiplikation zu grössten Teil fehlen. 1/2 ist ja keine ganze Zahl. Anders gesagt: es gibt keine Ganze Zahl mit x mit 2 * x = 1 Genau das müsste aber in einem Körper gelten. Alle geraden Ganzen Zahlen bilden einen Nullteilerfremden Ring (ohne Einselement), aber trotzdem keinen Körper. Alle 3er-Zahlen bilden einen Nullteilerfremden Ring (ohne Einselement), aber trotzdem keinen Körper. Alle 4er-Zahlen bilden einen Nullteilerfremden Ring (ohne Einselement), aber trotzdem keinen Körper. Alle 5er-Zahlen bilden einen Nullteilerfremden Ring (ohne Einselement), aber trotzdem keinen Körper. und so weiter und so fort. Die erwähnten abermillionen Gegenbeispiele! Es ist ja von einem 0R in der Aufgabe die Rede. Also mal der Ring der geraden ganzen Zahlen: Die geraden ganzen Zahlen bilden einen Ring (weisst du, warum ich das behaupten darf?), und zwar ist die 0 das neutrale Element der Addition. Hier ist also 0R = 0. Das hatte ich gemeint. Und bei den geraden ganzen Zahlen gilt ja: wenn a*b = 0 ist (a und b sind also geraden Zahlen), dann kann ich schliessen, dass a = 0 ist oder b = 0 ist. Obwohl ich das messerscharf schliessen kann, bilden die Ggeraden ganzen Zahlen KEINEN Ring. Warum das so ist, habe ich oben bereits erläutert. 1/2 ist keine ganze Zahl. Aber warum nimmst du das "2 * x = 1"??? |
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Hallo stipsie weil in einem Körper ja JEDES Element (ausser der Null) ein inverses Element bezüglich der Multiplikation haben muss. Wenn ich auch nur EIN EINZIGES Element aus der betrachteten Menge finde, welches kein Inverses Element bezüglich der Multipöikation hat, dann ist die betrachtete Menge KEIN Körper. 2 ist ja eine gerade ganze Zahl. Und ich habe einfach für die 2 das Inverse gesucht. Müsset 1/2 sein. 1/2 ist aber keine gerade ganze Zahl. Innerhalb der geraden ganzen Zahlen findet man zu 2 somit kein Inverses. Man hätte statt 2 auch 4 oder 6 oder 8 oder 1089029876 oder -8954 nehmen können. Ist egal, welches. Sobald wir eines finden ohne Inverses, sind wir fertig. Mit schien die erste Zahl ungleich 0, also die 2, einfach am naheliegendsten zu sein. Alle klar? Gruss Paul P.S. Warum hast du meinen ganzen Text kopiert? |
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ich glaube jetzt habe ichs :)! den habe ich kopiert damit ich mal alle argumente und fakten auf einer seite zu stehen habe, fand es übersichtlicher, sorry |
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Hallo stipsie du schreibst: "ok dann zu a) (a1,a2)+(b1,b2):=(a1+b1,a2+b2) die ist dann zu beweisen und die zweite zu wiederlegen?! (a1,a2)+(b1,b2):=(a1+b1,a2+b2) ist ein kommutativer Ring, weil und jetzt wende ich die gesetze an, oder wie?" Ich weiss nicht, was du mit die erste und die zweite meinst. Ich verwende wieder das $-Zeichen für das Plus im Kreislein. Zunächst nur mal soviel: (a1,a2)$(b1,b2):=(a1+b1,a2+b2) ist weder zu beweisen noch zu widerlegen. Nein, das ist so DEFINIERT. Das $ funktioniert so. Das + Zeichen hingegen bedeutet das normale Additionszeichen innerhalb der ganzen Zahlen. Der Schöpfer dieser Aufgabe sagt also: wir haben ein Menge mit einer Addition $ und einer Multiplikation X. Addiert und Multipliziert werden Zahlenpaare (a,b). Unter "addiert" ist aber das gemeint, was man mit dem $-Zeichen macht: man "addiert" zwei Zahlenpaare, indem man rechnet: (a1,a2) $ (b1,b2) = (a1+b1,a2+b2) Und unter "multipliziert" ist das gemeint, was man mit dem X-Zeichen macht: (a1,a2) X (b1,b2) = (a1*b1,a2*b2) So, und nun ist die Aufgabe zu zeigen, dass diese Menge mit diesen beiden Operationen ($ und X) ein Ring ist. Ein Ring ist es dann, wenn alle Gesetze gelten, die ich oben mit I) bis IV) aufgelistet habe. Die Gruppen-Gesetze solltest du dazu auch noch suchen, denn das Assoziativgesetz der Addition stammt ja aus den Gruppen-Gesetzen. Nun wissen wir ja nicht, ob wir wirklich einen Ring haben, wenn wir die Addition und die Multiplikation so definieren. Aber wir wissen, wie wir zu den Resultaten kommen, wenn wir $- oder X- rechnen müssen, nämlich eben so: (a1,a2) $ (b1,b2) = (a1+a2,a2+b2) (a1,a2) X (b1,b2) = (a1*a2,a2*b2) Zu zeigen ist also: 1) (x $ y) $ z = x $ (y $ z) für ALLE x, y, z element Z2 2) x $ y = y $ x für ALLE x, y, z element Z2 3) Es gibt ein neutrales Element der Addition ( $ ). Hinweis: (0,0) ist dieses Element. Du musst also nachweisen (also einfach ausrechnen), dass gilt: (0,0) $ (a1,a2) = (a1,a2) für ALLE a1, a2 element Z 4) JEDES Element x aus der betrachteten Menge hat ein negatives Element. Zu jedem x lässt sich somit ein y finden, so dass x $ y = (0,0) ist. Dazu zeigst du einfach, dass zu (a1,a2) stets gilt: (a1,a2) $ (-a1,-a2) = (0,0) wobei du voraussetzen darfst, dass das (-a1,-a2) auch wirklich vorhanden ist. Es ist aus dem Grunde auch tatsächlich vorhanden, weil innerhalb Z sicher ein -a1 und ein -a2 esistiert, für alle a1 und a2 aus Z. 5) (x X y) X z = x X (y X z) für ALLE x, y, z element Z2 Hier auch einfach beide Ausdrücke ausrechnen und vergleichen, ob immer das Selbe herauskommst, also egal, was du für Zahlenpaare x, y und z aus Z2 nimmst. 6) x X y = y X x für ALLE x, y, z element Z2 7) x X (y $ z) = x X y $ x X z für ALLE x, y, z element Z2 (wobei das X stärker bindet als das $) Hinweis: das 2. Distributivgesetz (x $ y) X z = x X z $ y X z musst du nicht mehr berechnen, falls der Punkt 6) gelungen ist, falls also das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt. Das alles musst du also tun. Punkt 1) habe ich dir weiter oben ja bereits vorgerechnet. Ich habe dir auch bereits gesagt, dass dieser Ring nicht Nullteilerfrend ist. Das heisst: aus x X y = 0 kann man nicht stets schliessen, dass x = 0 oder y = 0 gilt. Gegenbeispiel dazu: (7,0) * (0,19) = (0,0). (7,0) ist aber nicht die Null der Gruppe, denn es gilt zum Beispiel: (7,0) $ (1452,13765) = (1459,13765), und das ist nicht gleich (1452,13765), was es aber sein müsste, wenn (7,0) die Null (also das neutrale Element der Addition) sein sollte. Ebenso ist auch (0,19) nicht die Null. Na ja, wir haben oben ja gezeigt, dass (0,0) die Null des Ringes ist. Und diese ist ja gemäss allgemeiner Gruppentheorie eindeutig. Wenn (0,0) die Null ist, dann kann nicht auch (7,0) die das Null-Element sein. Alles klar? Gruss Paul |
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ich glaub um das zu verstehen was ich bei 2-7 jetzt genau machen soll, brauch ich nen bißchen?! und mit widerlegen meinte ich, weil ja in der aufgabe steht zeigen oder widerlgen sie ..... und ..... ! |
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Hallo stipsie wenn du magst, werde ich dir dann einige dieser Dinge vorrechnen. Zum Verständnis will ich dir aber noch folgendes Rollenspiel zwischen Person A und Person B beschreiben. Es ist definiert: Ein gleichseitiges Dreieck ist ein regelmässiges n-Eck, mit den beiden Eigenschaften: 1) das n-Eck hat genau 3 Ecken. 2) das n-Eck hat lauter gleichlange Seiten. Nun hat A in einer Tasche lauter n-Ecks (zum Beispiel aus Karton) verborgen, und er überreicht B eines dieser n-Ecks, mit der Aufgabe, zu zeigen oder zu widerlegen, dass es sich beim soeben erhaltenen Gegenstand um ein gleichseitiges Dreieck handle. Was hat B zu tun? Um zu zeigen, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, muss er einfach die beiden definierenden Eigenschaften überprüfen! 1) Es hat genau 3 Ecken: B zählt die Ecken des erhaltenen Gegenstandes. Kommt er auf 4, dann ist widerlegt, dass er ein Dreieck in der Hand hält. Wenn er aber 3 Ecken zählt, dann muss er noch 2) die Seiten messen und vergleichen. Sind alle Seiten gleich lang, dann hat er gezeigt, dass es sich bei dem Gegenstand um ein gleichseitiges Dreieck handelt. Falls nicht, dann hat er das widerlegt. Also: um die Behauptung, er habe ein Dreieck erhalten, zu widerlegen, braucht er nur eine einzige Eigenschaft nachzuweisen, die nicht stimmt. Er könnte also auch zuerst alle Seiten messen und vergleichen, und erst nachher die Ecken zählen. (Wäre bei einem Tausendeck aber aufwendiger als umgekehrt). Aber um wirklich zu zeigen, dass es sich beim erhaltenen Gegenstand um ein Dreieck handelt, muss er ALLE definierenden Eigenschaften nachweisen. In diesem Falle gibt es halt nur zwei Eigenschaften, die nachzuweisen sind. Was B aber sicher können muss: er muss wissen, wie man die Ecken zählt, und auch, wie man sie misst und vergleicht. Nun zum Bezug zu unserer Aufgabe: Man definiert einen Ring, indem man alle Eigenschaften aufzählt, die ein Ring haben muss. Diese Eigenschaften habe ich weiter oben bereits aufgezählt, unter I) bis IV). Nun gibt dir jemand eine Menge mit zwei Operationen. Die Menge besteht aus allen Zahlenpaaren von ganzen Zahlen, also aus Z2. Die Operationen bezeichnet er mit $ und X und sagt, der $ sei das Additionszeichen und das X das Multiplikationszeichen. Und er sagt: widerlege oder zeige, dass ich dir einen Ring gegeben habe. Was ist also zu tun? Um das zu widerlegen, müsstest du einfach bei einer einzigen Eigenschaft des Ringes zeigen, dass diese nicht gilt. Dann wärst du fertig. Gehe einfach mal alle Eigenschaften durch und schue, ob du eine Eigenschaft findest, bei der auf den ersten Blick klar ist, dass sie nicht stimmen kann. Falls dir das nicht gelingt, musst du halt etwas mehr Aufwand betreiben: du musst ALLE Eigenschaften, eine nach der anderen, überprüfen. Solange du keine findest, die nicht erfüllt ist, musst du die nächste überprüfen. Damit du das aber auch tatsächlich tun kannst, musst du wissen, wie man die Ecken zählt! Oh, pardon, nein, ich meinte, wie man $ und X überhaupt rechnet. Das weisst du aber, denn derjenige, der dir die Menge gegeben hat, hat ja gesagt, wie man $ rechnet, und wie man X rechnet. Wenn du alle Eigenschaften überprüft hast, und alle erfüllt sind, dann weisst du, das das, was du erhalten hast, ein Dreieck - ach nein, nicht ein Dreieck! - ich meinte, ein Ring ist. Bei der Überprüfung musst du dann auch noch jeden einzelnen Zwischenschritt begründen, warum du den machen darfst. ------------------------------------------------------ Als Beispiel (in der aktuellen Aufgabe): Ich will zeigen, dass die Addition kommutativ ist. Sie muss es ja sein, sonst wäre es kein Ring. Zu zeigen ist also: (a1,a2) $ (b1,b2) = (b1,b2) $ (a1,a2) Nun rechne ich also: (a1,a2) $ (b1,b2) = (a1+b1,a2+b2) Begründung: so ist die Addition ( $ ) ja definiert! Das ist also sicher erlaubt. Dann also weiter: (a1+b1,a2+b2) = (b1+a1,b2+a2) Begründung: Die einzelnen Komponenten der Zahlenpaare entstammen aus dem Ring der Ganzen Zahlen, und dort gilt das Kommutativgesetz der Addition ja. Das ist also ein erlaubter Zwischenschritt! Dann also weiter: (b1+a1,b2+a2) = (b1,b2) $ (a1,a2) Begründung: so ist die Addition ( $ ) ja definiert! Das ist also sicher erlaubt. Somit ist das Kommutativgesetz der Addition gezeigt! ------------------------------------------------------ Oder noch ein Beispiel: ich will zeigen, dass das (linksseitige) Distributivgesetz gilt. Zu zeigen ist also: (a1,a2) X ((b1,b2) $ (c1,c2)) = ((a1,a2) X (b1,b2)) $ ((a1,a2) X (c1,c2)) Das gibt jetzt halt ein Wenig mehr zu tun. Aber nur frischen Mutes drauflos! Zunächst berechnen wir die linke Seite (a1,a2) X ((b1,b2) $ (c1,c2)). (a1,a2) X ((b1,b2) $ (c1,c2)) = (a1,a2) X ((b1+c1),(b2+c2)) Das ist erlaubt, weil ich in der Klammer nur wieder die Definition von $ angewendet habe. Also weiter: (a1,a2) X ((b1+c1),(b2+c2)) = (a1*(b1+c1),a2*(b2+c2)) Das ist eerlaubt, weil ich lediglich die Definition von X angewendet habe. Also weiter: (a1*(b1+c1),a2*(b2+c2)) = ((a1*b1+a1*c1),(a2*b2+a2*c2)) Das ist erlaubt, weil ich nur das Distributivgesetz innerhalb der ganzen Zahlen angewendet habe. Dort gilt es ja! Also weiter: ich merke mir dieses Ergebnis und berechne die rechte Seite der Behauptung - ((a1,a2) X (b1,b2)) $ ((a1,a2) X (c1,c2)) - um dann zu vergleichen, ob ich das gleiche Resultat erhalte. ((a1,a2) X (b1,b2)) $ ((a1,a2) X (c1,c2)) = ((a1*b1),(a2*b2)) $ ((a1*c1),a2*c2)) Dabei habe ich nur die Definition der Ringmultiplikation ( X ) angewendet. Ist also erlaubt! Dann also weiter: ((a1*b1),(a2*b2)) $ ((a1*c1),a2*c2)) = ((a1*b1+a1*c1),(a2*b2+a2*c2)) Dabei habe ich das Distributivgesetz der Ganzen Zahlen angewendet, also alles legal! Dann also weiter: ((a1*b1+a1*c1),(a2*b2+a2*c2)) Was weiter?? Ich habe das resultat ja! Ich muss nur noch vergleichen, ob ich das Gleiche erhalten habe wie bei der Berechnung der linken Seite. Und in der Tat: es stimmt überein!! Das Distributivgesetz stimmt also in dieser gegebenen Menge der Zahlenpaare mit dieser eigenartigen Addition $ und dieser merkwürdigen Multiplikation X. ------------------------------------------------------ So, liebe Anna, versuchst du das jetzt auch mal mit einem anderen Gesetz, das zu überprüfen ist? Es gibt ja noch einige davon! Alles klar? Gruss Paul |
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ok, erstmal vielen dank für dein bsp.das habe ich verstanden. so nun die eigenschaften überprüfen: 1.Es ist eine "Addition" und eine "Multplikation" definiert, die eindeutug zu je zwei Elementen a und b eine Summe (a+b) resp. ein Produkt (a*b) zuteilt. Die Summe und das Produkt müssen dann jeweils auch in der Menge liegen. 2. Ring bezüglich der addition eine e kommutative Gruppe. 3.Die Multiplikation ist assoziativ 4. Distributiv Gesetz 5.Kommutativgesetz der Addition 1,4 und 5 hast du mir ja schon sehr anschaulich und verständlich erklärt, dafür vielen dank! Dann zu 2) als erstes muss ich nun also zeigen, dass ein einselement existiert. das inverse von a*b ist: (a*b)^(-1), denn: (a*b)*(a*b)^(-1) = e das neutrale Element der Addition ist(0,0), und wie kann ich das jetzt aber richrig zeigen? |
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Hallo stipsie Du schreibst: "als erstes muss ich nun also zeigen, dass ein einselement existiert. das inverse von a*b ist: (a*b)-1, denn: (a*b)*(a*b)-1 = e" Wie kommst du denn auf diese Idee? Ein Ring braucht doch kein Einselement! Er braucht nur ein Nullelement! Und dann: wenn du einfach ein e in die Formel setzt, dann musst du schon genauer sagen, was das ist. Denn in der Menge hat es ja nur Zahlenpaare. e wäre (1,1), denn wenn man rechnet: (1,1) X (a1,a2) bekommt man (a1,a2) als Resultat. Aber das müssen wir gar nicht zeigen. Aber jetzt, da wir es wissen, wissen wir, dass wir einen Ring (falls es ein Ring ist) mit Einselement vor uns haben. Aber das (a*b)*(a*b)-1 ist völli sinnlos. Wenn schon, müsste es heissen: (a1,a2) X (a1,a2)-1 = (1,1) und dann müsste man aber ein (a1,a2)-1 auffinden. Das müsste ein Zahlenpaar sein, z.B. (x1,x2) mit der Eigenschaft, dass gilt: (a1,a2) X (x1,x2) = (1,1), x1 und x2 müssten auch noch ganze Zahlen sein. Solche x1 und x2 wirst du aber sicherlich vergebens suchen! Oder zeige mir bitte ein solches. Also nochmals: Was müssen wir zeigen? I) Es ist eine Addition und eine Multiplikation definiert, wobei die berechnete Summe und das berechnete Produkt immer noch in der betrachteten Menge liegt.Die Addition ( $ ) und die Multiplikation ( X ) sind ja definiert, wir haben also zu zeigen: Ia) x $ y ist Element von Z2 Ib) x X y ist Element von Z2 II) Die Menge mit den gegebenen Operationen ist bezüglich Addition eine kommutative Gruppe. Damit haben wir zu zeigen: IIa) Die Addition ist assoziativ. IIb) Die Addition ist kommutativ. IIc) Es existiert ein Nullelement. (Also ein neutrales Element bzgl Addition) IId) Zu jedem Element x gibt es ein negatives Element y. Es gilt also: a $ y = 0 (Nullelement) III) Die Multiplikation ist assoziativ. IV) Die Multipliktion ist kommutativ (das muss nicht allgemein für einen Ring gelten. Die vorliegende Aufgabe verlangt aber zu zeigen, dass der Ring kommutativ ist) V) Es gilt das Distributivgesetz (Wenn der Ring kommutativ ist, brauchen wir nur entweder das linksseitige oder das rechtsseitige Distributivgesetz zu zeigen. So, was von alledem haben wir (eigentlich eher ich) schon gezeigt? IIa) IIb) III) V) Was bleibt also noch übrig? Ia) Ib) IIc) IId) IV) ----------------------------------------------------- Machen wir mal IIc) Dazu können wir doch einfach behaupten; das Element (0,0) ist das gesuchte Nullelement. Um das zu beweisen, müssen wir nur nachrechnen, dass für alle (a1,a2) gilt: (0,0) $ (a1,a2) = (a1,a2) Das ist aber nicht so schwierig, wir wissen ja, wie wir mit dem $ rechnen dürfen: (0,0) $ (a1,a2) = ((0+a1),(0+a2)) Dabei haben wir die Definition von $ angewendet. Also legal. Weiter: ((0+a1),(0+a2)) = (a1,a2) weil innerhalb der ganzen Zahlen gilt: 0 + x = 0 für alle x aus Z. Damit sind wir schon fertig mit dem Nullelement. Wir haben es gefunden: (0,0) Im Prinzip müssten wir auch noch zeigen, dass es auch gilt, wenn man (0,0) auf der rechten Seite addiert: (a1,a2) $ (0,0) = (a1,a2) Aber das machen wir nicht, weil wir ja bereits gezeigt haben, dass das Kommutativgesetz der Addition gilt. Dann erübrigt sich das also. ----------------------------------------------------- Oder IId) Zu zeigen ist, dass es für alle (a1,a2) ein (x1,x2) gibt mit (a1,a2) $ (x1,x2) = (0,0) Da kann ich auch wieder einfach vermuten: (x1,x2) = (-a1,-a2) leistet das Geforderte. Rechnen wir also: (a1,a2) $ (-a1,-a2) = ((a1+(-a1)),(a2+(-a2))) Dabei haben wir einfach die Definition von $ benutzt. Nun weiter: ((a1+(-a1)),(a2+(-a2))) = (0,0) weil in den ganzen Zahlen für alle x ein negatives x existiert, mit: x + (-x) = 0. (Wir sind also sicher, dass es ein -a1 und ein -a2 überhaupt gibt mit a1+(-a1) = 0 für jedes beliebige a1 innerhalb Z) (0,0) ist aber tatsächlich das Nullelement unseres fraglichen Ringes, wie wir ja soeben unter IIc) gezeigt haben. Wir können also zu JEDEM (x1,x2) das dazu negative Element angeben. Es ist dieses: (-x1,-x2) Damit haben wir IId) gezeigt. ----------------------------------------------------- Vielleicht noch Ia) (a1,a2) $ (b1,b2) = ((a1+b1),(a2+b2)) Dabei haben wir nur die Definition von $ angewendet. Innerhalb der ganzen Zahlen gilt aber: wenn a1 eine ganze Zahl ist, und auch a2 eine ganze Zahl ist, dann ist auch die Summe (a1+a2) eine ganze Zahl, denn die ganzen Zahlen bilden ja einen Ring. Anders ausgedrückt: ((a1+b1),(a2+b2)) ist Element von Z2 , was zu zeigen war. damit ist Ia auch schon fertig. ----------------------------------------------------- So, liebe Anna, damit bleiben für dich nur noch Ib) und IV) übrig. Die solltest du schaffen, denn jetzt hast du genügend Vorlagen, wie das zu bewerkstelligen ist, oder? Mit lieben Grüssen Paul |
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bin dir wirklich sehr dankbar für alles! wenn ich jetzt zeigen will das die addition und die multiplikation kommutativ ist, dann heit das ja allgemein a*b=b*a und a+b=b+a! oder? das jetzt auf meine aufgabe (a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)=(b1+a1,b2+a1) oder wie? |
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Hallo stipsie auf der linken Seite der Gleichung darfst du aber Keinesfalls das gewöhnliche Plus-Zeichen nehme, sondern das mit den Kreislein drumherum. Oder eben das, welches ich mit $ bezeichnet habe, weil kein Plusmitkreisleindrumherum auf meiner Tastatur ist, sondern nur ein Plusohnekreisleindrumherum. Die Kommutativität der Addition habe ich dir aber bereits vorgerechnet, in meiner Antwort Nummer 7 vom 7.11.2007/19:46 Uhr. Aber die Kommutativität der Multiplikation, also das Malmitkreisleindrumherum, die musst du noch zeigen. Das geht aber genau gleich wie bei der Addition. Es wäre schön, wenn du deine Rechnung dann hier zeigen könntest, damit ich es kurz überprüfen kann. Gruss Paul |
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(a1,a2) X (b1,b2) = (b1,b2) X (a1,a2) Nun rechne ich also: (a1,a2) X (b1,b2) = (a1*b1,a2*b2) (a1*b1,a2*b2) = (b1*a1,b2*a2) weiter: (b1*a1,b2*a2) = (b1,b2) X (a1,a2) so? |
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Hallo stipsie ja, ganz genau so. Was allerdings fehlt, ist bei jedem Schritt die Begründung, warum der Schritt legal ist. Jetzt fehlt galaub ich nur noch eine Teilaufgabe. Willst du die Lösung davon hier auch noch zur Kontrolle hineinstllen? Gruss Paul |
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was fehlt denn noch??? ach du meinst das: Ib) x X y ist Element von Z2 ach du je, wie geht man da nochma ran? |
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vielleicht so? (a1,a2) X (b1,b2) = ((a1*b1),(a2*b2)) wenn a1 eine ganze Zahl ist, und auch a2 eine ganze Zahl ist, dann ist auch (a1*a2) eine ganze Zahl. weil die ganzen zaheln ja einen ring bilden?! ((a1*b1),(a2*b2)) ist ein Element von Z2 |
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Hallo stipsie ja, genau so! Herzliche Gratulation, jetzt hast du die ganze Aufgabe geschafft! Liebe Grüsse ... und bis zum nächsten Mal Paul |
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| puhhh endlich, vielen vielen dank für die großartige hilfe :) |
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